Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, описанного около круга, если из центра круга восстановлен

Nikolaevich

10

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике с длинами катетов a и b и длиной гипотенузы c, справедливо, что \(c^2 = a^2 + b^2\).

Данные задачи не предоставляют нам значения непосредственно, поэтому давайте обозначим неизвестные величины:
Пусть длина гипотенузы будет \(c\), длины большего катета - \(a\), и высота треугольника, опущенная на гипотенузу, - \(h\).

Теперь, обратимся к условию задачи и найдем связи между указанными величинами:
Мы знаем, что из центра круга, описанного вокруг треугольника, восстановлен перпендикуляр к его плоскости длиной 6 см. Эту длину мы обозначим как \(h\).
Также известно, что конец перпендикуляра, находящийся вне плоскости треугольника, находится на расстоянии 10 см от большего катета. Это расстояние мы также обозначим как \(h\).

Теперь можно заметить, что треугольник, образованный гипотенузой, одним из катетов и высотой, является подобным исходному прямоугольному треугольнику. Подобные треугольники имеют соответствующие стороны, пропорциональные.

Следовательно, мы можем записать следующее:
\(\frac{a}{c} = \frac{h}{a} = \frac{h + 6}{10}\)

Теперь мы можем решить эту систему уравнений для нахождения значения длины гипотенузы \(c\).

Для начала, найдем значение \(h\):
\(\frac{h}{a} = \frac{h + 6}{10}\)
Умножим обе части уравнения на \(10a\):
\(10ah = ah + 6a\)
Вычтем \(ah\) из обеих частей уравнения:
\(9ah = 6a\)
Разделим обе части уравнения на \(3a\):
\(3h = 2\)
Разделим обе части уравнения на 3:
\(h = \frac{2}{3}\)

Теперь, подставим найденное значение \(h\) во второе соотношение:
\(\frac{a}{c} = \frac{\frac{2}{3}}{a}\)
Умножим обе части уравнения на \(ac\):
\(a^2 = \frac{2}{3}\)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
\(a^4 = \frac{4}{9}\)
Извлекаем корень из обеих частей уравнения:
\(a^2 = \frac{2}{3}\)
И, наконец, найдем значение \(c\) с помощью теоремы Пифагора:
\(c^2 = a^2 + b^2\)
\(c^2 = \frac{2}{3} + 9\)
\(c^2 = \frac{29}{3}\)
Извлекаем корень из обеих частей уравнения:
\(c = \sqrt{\frac{29}{3}}\)

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника, описанного около круга, составляет \(\sqrt{\frac{29}{3}}\) см.