Яка довжина сторони правильного шестикутника, вписаного в коло радіусом

Vladimir

48

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Для начала, нам нужно разобраться в определениях. Правильный шестиугольник - это такой шестиугольник, у которого все стороны и все углы равны между собой.

Пусть радиус круга равен \(r\), а сторона правильного шестиугольника равна \(s\).

Шаг 1: Найдем длину стороны правильного треугольника, вписанного в данный круг.
Правильный треугольник вписан в окружность так, что вершины треугольника касаются окружности. Из этого следует, что каждая из его сторон является радиусом окружности. Следовательно, длина стороны равна радиусу окружности, то есть \(s = r\).

Шаг 2: Найдем длину стороны правильного шестиугольника.
Правильный шестиугольник можно разделить на 6 равносторонних треугольников, каждый из которых имеет сторону \(s\) и угол 120 градусов. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, оставшийся угол в основании треугольника составляет 60 градусов. Таким образом, посредине основания есть еще один равносторонний треугольник. Кроме того, углы при вершинах правильного шестиугольника равны друг другу, то есть каждый угол составляет 120 градусов. Следовательно, внутри шестиугольника также есть равносторонний треугольник с основанием \(s\).

Итак, длина стороны правильного шестиугольника равна двум радиусам окружности, то есть \(s = 2r\).

Чтобы проверить ответ, можно воспользоваться формулой площади правильного шестиугольника \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2\).

В данном случае, площадь правильного шестиугольника будет \(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}(2r)^2 = 3\sqrt{3}r^2\).

Таким образом, мы получили ответ на задачу: сторона правильного шестиугольника, вписанного в круг радиусом \(r\), равна \(2r\).