Какова длина гипотенузы прямоугольного треугольника, у которого площадь равна 25 корней из 3, деленных на 2, и один

Светлячок

17

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен 30°. Это означает, что другой острый угол равен 90° - 30° = 60°.

Мы знаем, что площадь треугольника равна 25 корней из 3, деленных на 2. Давайте обозначим длину катета, противолежащего углу 30°, как \(a\), а длину катета, противолежащего углу 60°, как \(b\). Тогда площадь треугольника можно выразить следующим образом:

\[\text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = 25 \sqrt{3} / 2\]

Нам нужно найти длину гипотенузы треугольника, которую мы обозначим как \(c\).

Теперь воспользуемся формулой для площади треугольника, где площадь равна произведению половины произведения длин катетов на синус угла между ними:

\[\text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(60°)\]

Подставим известные значения:

\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(60°) = 25 \sqrt{3} / 2\]

Теперь заметим, что \(\sin(60°) = \sqrt{3}/2\), поэтому у нас остается:

\[\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25 \sqrt{3}}{2}\]

Домножим обе части уравнения на 2 и сократим \(\sqrt{3}\):

\[a \cdot b = 25\]

Теперь нам нужно найти длину гипотенузы \(c\). Воспользуемся теоремой Пифагора:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Нам известно, что один из острых углов равен 30°, поэтому у нас следующее соотношение:

\[c^2 = a^2 + (2a)^2\]

Раскроем скобки:

\[c^2 = a^2 + 4a^2\]

Сократим подобные слагаемые:

\[c^2 = 5a^2\]

Теперь подставим значение \(a \cdot b = 25\) из предыдущего уравнения:

\[c^2 = 5 \cdot 25\]

\[c^2 = 125\]

Извлекая квадратный корень, получим:

\[c = \sqrt{125} = 5 \sqrt{5}\]

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна \(5 \sqrt{5}\).