Решить четыре задачи с пояснениями, используя

Рак

70

к теме "Однородные системы уравнений". Для начала, давайте разберемся, что такое однородная система уравнений. В общем случае, однородная система уравнений - это система, в которой все уравнения имеют одинаковый вид и сумма правых частей в каждом уравнении равна нулю. Для решения однородной системы уравнений мы будем использовать метод Гаусса.

Задача 1:
Решим однородную систему уравнений:
\[
\begin{align*}
2x + 3y + z &= 0 \\
4x + y - 2z &= 0 \\
x + 2y + 3z &= 0 \\
\end{align*}
\]

Шаг 1: Записываем расширенную матрицу системы уравнений:

\[
\begin{bmatrix}
2 & 3 & 1 & 0 \\
4 & 1 & -2 & 0 \\
1 & 2 & 3 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

Шаг 2: Приводим расширенную матрицу к ступенчатому виду, используя элементарные преобразования строк. Выполнив элементарные преобразования, получаем:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 0 \\
0 & -5 & -8 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

Шаг 3: Приводим матрицу к улучшенному ступенчатому виду:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & \frac{8}{5} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

Шаг 4: Получаем общее решение системы уравнений:

\[
\begin{align*}
x &= t \\
y &= -\frac{8}{5}t \\
z &= t \\
\end{align*}
\]

где \(t\) - параметр.

Таким образом, общее решение задачи 1 имеет вид \((x,y,z) = (t, -\frac{8}{5}t, t)\), где \(t\) - любое действительное число.

Задача 2:
Решим однородную систему уравнений:
\[
\begin{align*}
3x - 2y - 2z &= 0 \\
2x + y + 3z &= 0 \\
4x + 3y + 2z &= 0 \\
\end{align*}
\]

Процедура решения будет аналогична как в задаче 1. Выполняя элементарные преобразования строк, мы получаем:

\[
\begin{bmatrix}
1 & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} & 0 \\
0 & 1 & \frac{10}{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

Улучшенный ступенчатый вид системы уравнений выглядит следующим образом:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 1 & \frac{10}{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

Общее решение данной системы имеет вид:

\[
\begin{align*}
x &= 2t \\
y &= -\frac{10}{3}t \\
z &= t \\
\end{align*}
\]

где \(t\) - произвольное действительное число.

Таким образом, общее решение задачи 2 записывается как \((x,y,z) = (2t, -\frac{10}{3}t, t)\), где \(t\) - любое действительное число.

Задача 3:
Решим однородную систему уравнений:
\[
\begin{align*}
x + 2y - z &= 0 \\
2x - y + z &= 0 \\
3x + 4y - 3z &= 0 \\
\end{align*}
\]

Процедура решения аналогична предыдущим задачам. После выполнения элементарных преобразований строк, получим:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

Улучшенный ступенчатый вид системы уравнений выглядит следующим образом:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & -3 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

Общее решение задачи 3 имеет вид:

\[
\begin{align*}
x &= 3t \\
y &= -t \\
z &= t \\
\end{align*}
\]

где \(t\) - произвольное действительное число.

Таким образом, общее решение задачи 3 записывается как \((x,y,z) = (3t, -t, t)\), где \(t\) - любое действительное число.

Задача 4:
Решим однородную систему уравнений:
\[
\begin{align*}
x - y + 2z &= 0 \\
2x + y - z &= 0 \\
3x + 2y &= 0 \\
\end{align*}
\]

Выполним элементарные преобразования строк, чтобы привести расширенную матрицу к улучшенному ступенчатому виду:

\[
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2 & 0 \\
2 & 1 & -1 & 0 \\
3 & 2 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

После элементарных преобразований получаем:

\[
\begin{bmatrix}
1 & 0 & \frac{2}{3} & 0 \\
0 & 1 & -\frac{1}{3} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
\]

Общее решение задачи 4 имеет вид:

\[
\begin{align*}
x &= -\frac{2}{3}t \\
y &= \frac{1}{3}t \\
z &= t \\
\end{align*}
\]

где \(t\) - произвольное действительное число.

Таким образом, общее решение задачи 4 записывается так: \((x,y,z) = (-\frac{2}{3}t, \frac{1}{3}t, t)\), где \(t\) - любое действительное число.

Все задачи успешно решены! Я всегда готов помочь вам!