Какова длина гипотенузы треугольника АВС, где ∠С=90°, ∠В=60° и СВ=26

Сонечка

22

Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о тригонометрии и применение теоремы косинусов. Давайте разберемся шаг за шагом:

Шаг 1: Вначале, мы знаем, что у треугольника АВС угол C равен 90°. Это означает, что треугольник АВС является прямоугольным.

Шаг 2: Также нам известно, что угол В равен 60°. Прямоугольный треугольник с углом 60° является треугольником 30-60-90.

Шаг 3: В треугольнике 30-60-90, соотношение длин сторон следующее:
- сторона против угла 30° равна половине гипотенузы,
- сторона против угла 60° равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) от длины гипотенузы,
- гипотенуза равна удвоенной длине стороны против угла 30°.

Шаг 4: Давайте обозначим длину гипотенузы треугольника АВС как \(c\). Согласно предыдущему шагу, сторона против угла 30° будет равна \(\frac{c}{2}\), а сторона против угла 60° будет равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}c\).

Шаг 5: Зная, что сторона СВ имеет длину 26, мы можем записать уравнение:
\(\frac{c}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}c = 26\)

Шаг 6: Сначала объединим дроби в левой части уравнения:
\(\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)c = 26\)

Шаг 7: Затем упростим дробь в скобках:
\(\left(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}\right)c = 26\)

Шаг 8: Чтобы найти длину гипотенузы, разделим обе части уравнения на \(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}\):
\(c = \frac{26}{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}}\)

Шаг 9: Чтобы сделать деление более простым, умножим и разделим числитель и знаменатель на сопряженное значение \(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\):
\(c = \frac{26}{\frac{1 + \sqrt{3}}{2}} \times \frac{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{1 - \sqrt{3}}{2}}\)

Шаг 10: Умножим числители и знаменатели:
\(c = \frac{26 \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{1 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{2}}\)

Шаг 11: Упростим произведение в знаменателе:
\(c = \frac{26 \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{1 - \sqrt{3^2}}{2^2}}\)

Шаг 12: Упростим числитель:
\(c = \frac{26 \cdot (1 - \sqrt{3})}{1 - 3}\)

Шаг 13: Упростим знаменатель:
\(c = \frac{26 \cdot (1 - \sqrt{3})}{-2}\)

Шаг 14: Разделим числитель на знаменатель:
\(c = \frac{-26(1 - \sqrt{3})}{2}\)

Шаг 15: Упростим дробь:
\(c = -13(1 - \sqrt{3})\)

Шаг 16: Итак, длина гипотенузы треугольника АВС равна \(c = -13(1 - \sqrt{3})\) или, если мы хотим избавиться от отрицательного знака, \(c \approx 13(\sqrt{3} - 1)\).

Округлив до двух знаков после запятой, получаем \(c \approx 13(1.73 - 1) \approx 13 \times 0.73 \approx 9.49\).

Таким образом, длина гипотенузы треугольника АВС, округленная до двух знаков после запятой, равна примерно 9.49.