Найдите угол между прямой AM и плоскостью в правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S, где сторона

Звонкий_Ниндзя

66

Для решения этой задачи нам необходимо использовать знания о геометрии и свойствах четырехугольных пирамид.

В данной задаче у нас имеется правильная четырехугольная пирамида SABCD, где сторона основания равна 4 и боковое ребро равно 3. Также дано, что точка M является серединой ребра AB.

Для нахождения угла между прямой AM и плоскостью пирамиды, нам потребуется следующая информация:

1. Определить координаты точек S, A, B, C и D.
2. Вычислить векторы $\overrightarrow{SA}$, $\overrightarrow{SB}$ и $\overrightarrow{SM}$.
3. Используя скалярное произведение векторов, найдем косинус угла между векторами $\overrightarrow{SM}$ и $\overrightarrow{SB}$.
4. Найдем значение угла между прямой AM и плоскостью пирамиды, используя найденный косинус.

Давайте проведем эти вычисления пошагово.

Шаг 1: Определение координат
Для определения координат точек S, A, B, C и D, нам понадобится знать некоторые свойства пирамиды.

Поскольку пирамида является правильной, это означает, что все боковые грани равны и имеют одинаковые углы. Будем считать, что основание пирамиды SABCD лежит в плоскости $xOy$ и центр основания совпадает с началом координат.

Также, чтобы использовать условие о длине бокового ребра равной 3, мы можем определить следующие координаты:
S(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(-2, 0, 0) и D(0, -2, 0).

Шаг 2: Вычисление векторов
Теперь, когда у нас есть координаты точек, мы можем определить векторы $\overrightarrow{SA}$, $\overrightarrow{SB}$ и $\overrightarrow{SM}$ с помощью разности координат.

$\overrightarrow{SA}=A-S=(2,0,0)-(0,0,0)=(2,0,0)$
$\overrightarrow{SB}=B-S=(0,2,0)-(0,0,0)=(0,2,0)$
$\overrightarrow{SM}=M-S=(\frac{2}{2},\frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2})-(0,0,0)=(1,1,0)$

Шаг 3: Вычисление косинуса угла
Теперь, когда у нас есть векторы $\overrightarrow{SM}$ и $\overrightarrow{SB}$, мы можем найти косинус угла между ними, используя формулу скалярного произведения:

$$\cos (\theta )=\frac{\overrightarrow{SM}\cdot \overrightarrow{SB}}{|\overrightarrow{SM}|\cdot |\overrightarrow{SB}|}$$

Раскроем это выражение:

$|\overrightarrow{SM}|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$
$|\overrightarrow{SB}|=\sqrt{0^2+2^2+0^2}=2$
$\overrightarrow{SM}\cdot \overrightarrow{SB}=(1,1,0)\cdot (0,2,0)=0\cdot 1+2\cdot 1+0\cdot 0=2$

Вычислим косинус угла:

$$\cos (\theta )=\frac{2}{\sqrt{2}\cdot 2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Шаг 4: Нахождение угла
Теперь, когда мы знаем косинус угла, мы можем использовать обратную функцию косинуса для нахождения значения угла:

$$\theta ={\cos }^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})$$

Вычисляя это значение, мы получаем:

$\theta \approx {45}^{\circ }$

Таким образом, угол между прямой AM и плоскостью пирамиды примерно равен ${45}^{\circ }$.

Это полное решение, объясняющее, как мы пришли к ответу. Надеюсь, оно помогло вам понять решение этой задачи.