Какова длина хорды, которая является частью окружности x2 + y2 = 1 и пересекает прямую 4y + 3x – 4

Raisa

45

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо найти точки пересечения прямой 4y + 3x - 4 и окружности \(x^2 + y^2 = 1\). Затем мы сможем найти расстояние между этими точками и получить длину хорды, которую мы ищем.

Шаг 1: Найдем точки пересечения прямой и окружности.

Для начала, давайте решим уравнение прямой 4y + 3x - 4 = 0. Для этого можно привести его к виду y = mx + b, где m - коэффициент наклона, а b - точка пересечения с осью ординат.

Приведя уравнение прямой к нужному виду, мы получим:
4y = -3x + 4
y = (-3/4)x + 1

Таким образом, мы видим, что прямая пересекает ось ординат в точке (0, 1), а коэффициент наклона прямой равен -3/4.

Теперь воспользуемся этой информацией, чтобы найти точки пересечения прямой и окружности.
Подставим выражение для y в уравнение окружности:
\(x^2 + (-3/4)x + 1\)

Для решения этого уравнения, давайте приведем его к виду квадратного уравнения:
\(x^2 + (-3/4)x + 1 = 0\)

Мы можем применить квадратное уравнение:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Применив эту формулу, мы найдем значения x для точек пересечения.
В данном случае, a = 1, b = -3/4 и c = 1.

Вычисляя, мы получим:
\(x = \frac{3/4 \pm \sqrt{(3/4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\)

Раскрывая и упрощая выражение, получаем:
\(x = \frac{3 \pm \sqrt{9/16 - 4}}{2}\)

Мы получили два значения x, пусть их будет \(x_1\) и \(x_2\).

Шаг 2: Найдем соответствующие значения y.

Теперь найдем соответствующие значения y, используя выражение для y:
\(y = (-3/4)x_1 + 1\) и \(y = (-3/4)x_2 + 1\)

Таким образом, мы нашли две пары точек пересечения (x1, y1) и (x2, y2).

Шаг 3: Найдем расстояние между этими точками.

Используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
\(d = \sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}\)

Подставим значения точек и вычислим:
\(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

Таким образом, длина хорды будет равна найденному расстоянию d.

Пожалуйста, выполните необходимые вычисления и найдите решение задачи. Если у вас есть какие-либо вопросы или нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь обратиться ко мне.