Какова длина хорды на рисунке, если CK равно 3 см, CD равно 12 см, и AK меньше KB на

Романович

58

Для того чтобы найти длину хорды, нужно использовать свойства и теоремы окружности.

Дано, что CK равно 3 см, CD равно 12 см, и AK меньше KB на некоторое значение. Давайте назовем это значение "x".

Для начала, обратимся к теореме об углах, создаваемых окружностью. Если мы нарисуем линию, соединяющую центр окружности с точкой на хорде, то полученный угол будет равным вдвое большему углу, созданному хордой на окружности.

Таким образом, у нас есть равенство углов CAK и CBK. Поскольку AK меньше KB на значение "x", то угол CAK также будет меньше угла CBK. Обозначим меньший угол как \(\alpha\).

Теперь давайте рассмотрим треугольники CAK и CBK. Они являются прямоугольными треугольниками, поскольку хорда CK является диаметром окружности. Также, у них есть общий катет, который равен CD (12 см).

Используя теорему Пифагора для обоих треугольников, мы можем записать следующие равенства:

\[\begin{align*}
AC^2 + AK^2 &= CK^2 \quad \text{(для треугольника CAK)} \\
BC^2 + BK^2 &= CK^2 \quad \text{(для треугольника CBK)}
\end{align*}\]

Подставим известные значения:

\[\begin{align*}
AC^2 + (AK + x)^2 &= 3^2 \\
BC^2 + (BK - x)^2 &= 3^2
\end{align*}\]

Теперь подставим информацию о длине CD в выражения:

\[\begin{align*}
AC^2 + (AK + x)^2 &= 3^2 \\
BC^2 + (12 - x)^2 &= 3^2
\end{align*}\]

Продолжаем упрощать:

\[\begin{align*}
AC^2 + AK^2 + 2 \cdot AK \cdot x + x^2 &= 9 \\
BC^2 + 144 - 24x + x^2 &= 9
\end{align*}\]

Так как мы знаем, что углы CAK и CBK равны, то AC и BC также равны, поэтому мы можем заменить их одним значением \(x\):

\[\begin{align*}
x^2 + (AK + x)^2 &= 9 \\
x^2 + (12 - x)^2 &= 9
\end{align*}\]

Упростим дальше:

\[\begin{align*}
x^2 + AK^2 + 2 \cdot AK \cdot x + x^2 &= 9 \\
x^2 + 144 - 24x + x^2 &= 9
\end{align*}\]

Объединим похожие члены:

\[2x^2 + 2 \cdot AK \cdot x - 24x + 135 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение.

Решив это уравнение, мы можем найти значение x. Затем, используя найденное значение x, мы можем найти длину хорды, подставив его в одно из наших исходных уравнений:

\[\begin{align*}
AC^2 + (AK + x)^2 &= 3^2 \\
BC^2 + (12 - x)^2 &= 3^2
\end{align*}\]

Надеюсь, эта пошаговая инструкция поможет вам решить данную задачу и найти длину хорды!