Знайдіть радіус сфери, на якій лежать вершини трикутника, якщо довжини його сторін дорівнюють 2 см, 4^2 см і 6

Skazochnaya_Princessa_1093

62

Для решения данной задачи нам понадобятся знания из геометрии и трехмерной геометрии.

Перед тем, как решить задачу, давайте вспомним основные определения и формулы, связанные с сферами. Сфера - это геометрическое тело, которое состоит из всех точек, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой центром сферы. Радиусом сферы является расстояние от центра до любой точки на сфере.

Теперь перейдем к решению задачи. Мы знаем длины сторон треугольника: 2 см, \(4\sqrt{2}\) см и 6 см. Чтобы найти радиус сферы, на которой лежат вершины этого треугольника, нужно определить высоту треугольника.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. Для нахождения высоты мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2}bh\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(b\) - база треугольника (длина стороны, на которую опущена высота), а \(h\) - высота треугольника.

В данном случае треугольник является прямоугольным, так как его стороны соответствуют теореме Пифагора (2^2 + \(4\sqrt{2}\)^2 = 6^2). Значит, мы можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольника:

\[S = \frac{1}{2}ab\]

где \(a\) и \(b\) - длины катетов прямоугольного треугольника.

В нашем случае \(a = 2\) см, а \(b = 4\sqrt{2}\) см. Подставим значения в формулу:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\]

Теперь мы знаем площадь треугольника, а чтобы найти высоту, мы можем разделить площадь на длину базы:

\[h = \frac{S}{b} = \frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}} = 1\]

Теперь, когда мы знаем высоту треугольника, мы можем найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника. Для этого мы используем теорему Пифагора:

\[d = \sqrt{r^2 - h^2}\]

где \(d\) - расстояние от центра сферы до плоскости треугольника (известная нам величина), а \(r\) - радиус сферы (искомая величина).

Мы знаем, что \(d = 1\). Подставим это значение в формулу и решим ее относительно радиуса:

\[1 = \sqrt{r^2 - 1^2}\]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[1^2 = r^2 - 1^2\]

Упростим выражение:

\[1 = r^2 - 1\]

Перенесем все слагаемые, содержащие \(r^2\), на левую сторону уравнения:

\[r^2 = 2\]

Возведем обе части уравнения в корень:

\[r = \sqrt{2}\]

Итак, радиус сферы, на которой лежат вершины данного треугольника, равен \(\sqrt{2}\) см.