Какова длина касательной AD к окружности, если из точки A проведены секущая AB=16 и касательная AD, причем длина

Lesnoy_Duh

62

Дана окружность с центром O. Точка A - точка касания касательной AD с окружностью, точка B - точка пересечения секущей AB с окружностью, точка C - точка пересечения секущей AB с касательной AD.

Чтобы найти длину касательной AD, нам понадобятся некоторые свойства перпендикуляра и касательных, а также теорема Пифагора.

Шаг 1: Рисуем окружность с центром O и проводим касательную AD из точки A. Затем проводим секущую AB так, чтобы ее длина равнялась 16.

\[
\begin{array}{c}
\text{--------}\\
|\\
|\\
|\\
O--------A\\
\end{array}
\]

Шаг 2: Проводим отрезок AC так, чтобы его длина была на 3 меньше, чем длина AD.

\[
\begin{array}{c}
\text{--------------}\\
|\\
|\\
|\\
O-----C---A--D\\
\end{array}
\]

Шаг 3: Находим длину AC. Мы знаем, что длина AB равна 16, а длина AC на 3 меньше, чем длина AD. Обозначим длину AC как x, тогда длина AD будет равна x + 3.

Шаг 4: Строим прямоугольный треугольник ABC, где AB = 16, BC = x и AC = x - 3. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину диагонали AD.

Вспомним, что в прямоугольном треугольнике с гипотенузой c и катетами a и b верно следующее соотношение:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

Применяя это соотношение к треугольнику ABC, получаем:

\[ (x + 3)^2 = 16^2 + x^2 \]

Раскрываем скобки:

\[ x^2 + 6x + 9 = 256 + x^2 \]

Упрощаем:

\[ 6x + 9 = 256 \]

Вычитаем 9 из обеих частей:

\[ 6x = 247 \]

Делим обе части на 6:

\[ x = \frac{247}{6} \]

Таким образом, длина AC равна \(\frac{247}{6}\), а длина AD равна \(\frac{247}{6} + 3\).

Ответ: Длина касательной AD к окружности равна \(\frac{247}{6} + 3\).