Какова длина катета в треугольнике ABC с прямым углом C, если AC = 12 см и ctg

Надежда_433

29

Для решения данной задачи, мы можем использовать теорему Пифагора, так как у нас есть прямоугольный треугольник ABC. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Используем эту формулу, чтобы найти длину катета BC.

Длина гипотенузы: AC = 12 см

Пусть длина катета AB равна x см. Тогда, по теореме Пифагора, имеем:

\[AB^2 + BC^2 = AC^2\]

\[x^2 + BC^2 = 12^2\]

Также дано, что \(ctg(\angle C) = 3\). Мы можем использовать данную информацию для нахождения отношения длин катетов, так как в прямоугольном треугольнике тангенс прямого угла равен отношению длины противоположного катета (BC) к длине прилежащего катета (AB).

\[ctg(\angle C) = \frac{BC}{AB} = 3\]

Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} x^2 + BC^2 = 12^2 \\ \frac{BC}{AB} = 3 \end{cases}\]

Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или сложением/вычитанием уравнений для упрощения. В данном случае, решим систему методом подстановки.

Используем второе уравнение системы для избавления от \(AB\) в первом уравнении:

\[\frac{BC}{AB} = 3 \Rightarrow BC = 3AB\]

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

\[x^2 + (3AB)^2 = 12^2\]

\[x^2 + 9AB^2 = 144\]

Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной \(AB\). Мы можем продолжить решение, найдя \(AB\), а затем использовать его значение, чтобы найти \(BC\) и \(x\).

Методами алгебры или просто расписывая уравнение, мы можем прийти к следующему:

\[10AB^2 = 144 - x^2\]

\[AB^2 = \frac{144 - x^2}{10}\]

Теперь у нас есть уравнение, содержащее только \(AB\). Если мы сможем определить значение \(AB\), мы сможем найти искомую длину катета BC.

Я надеюсь, что это решение поможет вам в решении задачи. Если вы имеете какие-либо вопросы, пожалуйста, задайте.