Какова длина медианы em треугольника, у которого вершины имеют координаты c(4; 0), d(0,8), e(-4; -4)? Пожалуйста

Buran_6856

10

Для решения данной задачи, мы можем использовать теорему о медиане треугольника.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны.

Для начала, найдем середину стороны CD.

Середина отрезка между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2) может быть найдена по следующей формуле:

\[x_m = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[y_m = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\]

Таким образом, координаты середины стороны CD:

\[x_m = \frac{{4 + 0}}{2} = 2\]
\[y_m = \frac{{0 + 8}}{2} = 4\]

Теперь, соединим вершину E с серединой стороны CD. Получим медиану EM.

Длина медианы EM может быть найдена с использованием теоремы Пифагора. Если \(a\), \(b\), и \(c\) - длины сторон треугольника, а \(m\) - длина медианы, соединяющей вершину с серединой противоположной стороны, то:

\[4m^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2\]

В данном случае, мы знаем, что длины сторон треугольника DC, DE и CE равны:

\[DC = \sqrt{{(4 - 0)^2 + (0 - 8)^2}} = \sqrt{{16 + 64}} = \sqrt{{80}} = 4\sqrt{{5}}\]

\[DE = \sqrt{{(-4 - 4)^2 + (-4 - 8)^2}} = \sqrt{{64 + 144}} = \sqrt{{208}} = 4\sqrt{{13}}\]

\[CE = \sqrt{{(4 - (-4))^2 + (0 - (-4))^2}} = \sqrt{{64 + 64}} = \sqrt{{128}} = 8\sqrt{{2}}\]

Теперь мы можем найти длину медианы EM:

\[4m^2 = 2(4\sqrt{{5}})^2 + 2(4\sqrt{{13}})^2 - (8\sqrt{{2}})^2\]
\[4m^2 = 32(5) + 32(13) - 64(2)\]
\[4m^2 = 160 + 416 - 128\]
\[4m^2 = 448\]
\[m^2 = \frac{{448}}{4} = 112\]

Таким образом, длина медианы EM равна:

\[m = \sqrt{{112}} = 4\sqrt{{7}}\]

Для визуализации дадим диаграмму:

1. Обозначим вершины треугольника: C(4, 0), D(0, 8), E(-4, -4).
2. Проведем стороны треугольника: CD, DE, CE.
3. Найдем середину отрезка CD: M(2, 4).
4. Проведем отрезок EM.
5. Указываем, что EM - медиана треугольника.
6. Измеряем отрезок EM: m = 4√7.

Таким образом, получаем ответ:
Длина медианы EM треугольника CDE равна 4√7.