Какова длина медианы QM в треугольнике PQR, если периметр треугольника PQR составляет 48 см, а периметр треугольника

Zagadochnyy_Paren

38

Для начала, давайте вспомним основные понятия, связанные с треугольниками.

Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон. Давайте обозначим стороны треугольника PQR как PQ, QR и RP, а их длины обозначим через \(a\), \(b\) и \(c\) соответственно.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Интересующая нас медиана QM будет соединять вершину Q треугольника PQR с серединой стороны PR.

Теперь, давайте решим задачу.

Задача говорит, что периметр треугольника PQR составляет 48 см. Мы можем записать это в виде уравнения:

\[PQ + QR + RP = 48\] (1)

Также задача говорит, что периметр треугольника QPM составляет с каким-то значением, которое нам неизвестно. Давайте обозначим его через \(x\). Тогда, мы можем записать уравнение для периметра треугольника QPM:

\[QP + PM + MQ = x\] (2)

Заметим, что сторона PQ равна стороне QP, а сторона RP равна стороне PM, так как обе эти стороны являются частями сторон треугольника PQR. Поэтому, мы можем переписать уравнение (2) следующим образом:

\[PQ + RP + MQ = x\] (3)

Теперь мы знаем, что длины сторон PQ, RP и MQ равны соответственно \(a\), \(c\) и \(b/2\). Вспоминая определение медианы, мы знаем, что медиана QM делит сторону PR пополам, поэтому MQ равна половине длины стороны PR.

Подставим все это в уравнение (3):

\[a + c + \dfrac{b}{2} = x\]

Теперь мы должны найти значение \(x\), чтобы решить эту задачу.

Обратимся к уравнению (1), в котором мы уже знаем, что сумма сторон составляет 48 см:

\[a + c + b = 48\] (4)

Теперь вспомним, что сторона PR треугольника PQR является суммой сторон PQ и QR:

\[PR = PQ + QR = a + c\]

Таким образом, мы можем переписать это уравнение следующим образом:

\[c = PR - a\]

Вернемся к уравнению (4) и подставим это значение:

\[a + PR - a + b = 48\]

Заметим, что переменная \(a\) сокращается, и мы получим:

\[PR + b = 48\] (5)

Теперь мы можем объединить уравнение (5) с уравнением (3), чтобы избавиться от переменной \(b\):

\[PR + b = x\]

\[PR + (48 - PR) = x\]

Более просто говоря:

\[48 = x\]

Таким образом, мы нашли значение периметра треугольника QPM - это 48 см.

Наконец, мы можем выразить длину медианы QM, которая соединяет вершину Q с серединой стороны PR, через длину сторон треугольника QPM. Мы уже знаем, что сторона PR равна сумме сторон PQ и QR, то есть \(PR = a + c\), а сторона MQ равна половине длины стороны PR, то есть \(MQ = \dfrac{PR}{2}\).

Подставим эти значения в уравнение для медианы QM:

\[QM = \dfrac{PR}{2} = \dfrac{a + c}{2}\]

Теперь, пользуясь данными из задачи, мы можем выразить длину медианы QM через периметр треугольника PQR:

\[QM = \dfrac{48}{2} = 24 \, \text{см}\]

Таким образом, длина медианы QM в треугольнике PQR равна 24 см.