Какова длина меньшей стороны прямоугольника, если известно, что его диагональ образует угол 30° с более длинной
Какова длина меньшей стороны прямоугольника, если известно, что его диагональ образует угол 30° с более длинной стороной и имеет противоположные вершины A(3; 5) и C(11; 17)?
Ледяной_Дракон 17
Чтобы найти длину меньшей стороны прямоугольника, нам понадобится использовать геометрические свойства. Давайте начнем с нахождения длины диагонали прямоугольника.Для начала, посмотрим на координаты точек А(3; 5) и С(11; 17). Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости, чтобы найти длину диагонали. Формула для расстояния между двумя точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) выглядит следующим образом:
\[ d = \sqrt{{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2}} \]
Применяя эту формулу к нашим точкам А(3; 5) и С(11; 17), получим:
\[ d = \sqrt{{(11 - 3)^2 + (17 - 5)^2}} = \sqrt{{8^2 + 12^2}} = \sqrt{{64 + 144}} = \sqrt{{208}} \]
Таким образом, длина диагонали прямоугольника равна \(\sqrt{{208}}\).
Поскольку диагональ образует угол 30° с более длинной стороной, мы можем использовать тригонометрию для нахождения длины более длинной стороны прямоугольника. В данном случае, косинус угла 30° будет равен отношению длины более длинной стороны к длине диагонали.
Рассчитаем это:
\[ \cos(30°) = \frac{{\text{{длина более длинной стороны}}}}{{\text{{длина диагонали}}}} \]
Подставим известные значения:
\[ \frac{1}{2} = \frac{{\text{{длина более длинной стороны}}}}{{\sqrt{{208}}}} \]
Теперь найдем длину более длинной стороны, умножив обе части уравнения на \(\sqrt{{208}}\):
\[ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{208}} = \text{{длина более длинной стороны}} \]
Посчитаем это:
\[ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{208}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{16 \cdot 13}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{{16}} \cdot \sqrt{{13}} = 2 \cdot \sqrt{{13}} \]
Таким образом, длина более длинной стороны прямоугольника равна \(2 \cdot \sqrt{{13}}\).
Для нахождения длины меньшей стороны прямоугольника, мы можем воспользоваться тем, что прямоугольник является фигурой, у которой противоположные стороны равны по длине. Таким образом, меньшая сторона также будет иметь длину \(2 \cdot \sqrt{{13}}\).
Ответ: Длина меньшей стороны прямоугольника равна \(2 \cdot \sqrt{{13}}\).