Какова длина основания AD трапеции ABCD, если известно, что BC = 4 см, CD = 6 см, угол A равен 60 градусов, а угол

Svetlana

62

Для решения задачи о длине основания AD трапеции ABCD, мы можем использовать свойства трапеции и геометрические соотношения.

1. Нарисуем трапецию ABCD:

\[
\begin{array}{cccc}
& A & ---------- & B \\
D & *** & C \\
\end{array}
\]

2. У нас есть информация о двух сторонах трапеции: BC = 4 см и CD = 6 см, а также о двух углах: угол A = 60 градусов и угол D = 135 градусов. Мы хотим узнать длину основания AD.

3. Заметим, что сумма углов внутри любого выпуклого четырехугольника равна 360 градусов. Мы можем использовать это свойство для нахождения углов B и C.

4. Угол B равен 180 градусов минус угол A. Подставим известные значения и вычислим его:

\[
\text{Угол B} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ
\]

5. Угол C равен 180 градусов минус угол D. Подставим известные значения и вычислим его:

\[
\text{Угол C} = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ
\]

6. Обратим внимание, что углы B и C являются смежными углами, формирующими угол при основании AD. Таким образом, мы можем использовать свойства смежных углов для вычисления угла при основании AD.

7. Сумма углов при основании трапеции равна 180 градусов. Мы знаем, что угол B равен 120 градусов, а угол C равен 45 градусов. Обозначим неизвестный угол при основании AD как x. Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[
\text{Угол при основании AD} = 180^\circ - \text{Угол B} - \text{Угол C} = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = x
\]

8. Вычислим значение угла при основании AD:

\[
\text{Угол при основании AD} = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ
\]

9. Помним, что в треугольнике сумма всех углов равна 180 градусов. Обозначим угол при основании AD как y. Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[
\text{Угол при основании AD} + \text{Угол при основании AD} + \text{Угол D} = 180^\circ
\]

10. Подставим известные значения и найдём угол при основании AD:

\[
15^\circ + 15^\circ + 135^\circ = y
\]

\[
30^\circ + 135^\circ = y
\]

\[
y = 165^\circ
\]

11. Обратите внимание, что треугольник ACD является прямоугольным, так как сумма углов в нём равна 180 градусов. Значит, угол АCD равен 90 градусов.

12. В треугольнике АCD известны две стороны: AD, которую мы хотим найти, и CD, равная 6 см. Из свойств прямоугольного треугольника мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы решить эту задачу.

13. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

14. Обозначим гипотенузу треугольника АCD как z. Тогда теорема Пифагора будет выглядеть следующим образом:

\[
6^2 + z^2 = AD^2
\]

15. Вспомним, что два угла в любом треугольнике образуют комплиментарные углы. То есть, угол ACD и угол при основании AD образуют комплиментарные углы.

16. Следовательно, угол ACD = 90 градусов - угол при основании AD = 90 градусов - 165 градусов = -75 градусов.

17. В треугольнике АCD у нас есть прямой угол (90 градусов), угол ACD (-75 градусов) и угол при основании AD (165 градусов). Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.

18. Заметим, что угол ACD является острым углом, а не отрицательным. Верно будет угол ACD = -(-75 градусов) = 75 градусов.

19. Снова обратимся к теореме Пифагора:

\[
6^2 + z^2 = AD^2
\]

20. Если мы знаем длины сторон BC (4 см) и CD (6 см), то длина основания AD равна их разности:

\[
AD = BC - CD = 4 \, \text{см} - 6 \, \text{см} = -2 \, \text{см}
\]

21. Длина не может быть отрицательной, поэтому ответ равен:

\[
AD = 2 \, \text{см}
\]

Таким образом, длина основания AD трапеции ABCD равна 2 см.