Какова длина отрезка AC в прямоугольном равнобедренном треугольнике АВС с прямым углом А, если АК = 7, АН

Evgenyevna_8174

57

Для решения данной задачи нам необходимо использовать теорему Пифагора, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Пусть длина отрезка AC равна x.

Из условия задачи известно, что отрезки АК и АН равны 7 и 5 соответственно. Также, по рисунку мы можем заключить, что отрезки КL и MN равны длине катета АН.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник АКL. У него гипотенуза - отрезок AC, а катеты - отрезки AK и KL. По теореме Пифагора, имеем:

\[AC^2 = AK^2 + KL^2\]

Подставим известные значения:

\[x^2 = 7^2 + KL^2\] -- (1)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ANM. У него гипотенуза - отрезок AC, а катеты - отрезки AN и NM. Снова применим теорему Пифагора:

\[AC^2 = AN^2 + NM^2\]

Подставим известные значения:

\[x^2 = 5^2 + NM^2\] -- (2)

Теперь мы можем поравнять выражения (1) и (2), так как оба они равны \(x^2\):

\[7^2 + KL^2 = 5^2 + NM^2\]

Упростим это выражение:

\[49 + KL^2 = 25 + NM^2\]

Вычитая 25 из обеих частей, получим:

\[24 + KL^2 = NM^2\] -- (3)

Изначально нам было дано, что отрезки KL и NM равны длине катета АН. Поэтому KL = NM = 5.

Подставим эту информацию в уравнение (3):

\[24 + 5^2 = 25 + 25\]

\[24 + 25 = 50\]

Таким образом, длина отрезка AC в прямоугольном равнобедренном треугольнике АВС равна 5 единицам.