Какова длина отрезка At, если BC = 6√6, угол C = 45° и угол А = 60°, при условии, что вершина А треугольника

Zvezdopad_Shaman

13

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов, которая гласит:

\[\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}\]

где a, b, и c - стороны треугольника, а A, B, и C - соответствующие им углы.

В нашей задаче у нас уже заданы значения углов А и C, а также сторона BC. Мы хотим найти длину отрезка At, который является стороной треугольника.

Длина отрезка At равна длине отрезка AC, так как треугольник ABC является прямоугольным треугольником.

Длина стороны AC может быть найдена с использованием теоремы синусов следующим образом:

\[\frac{AC}{\sin(60°)} = \frac{6\sqrt{6}}{\sin(45°)}\]

Давайте рассчитаем длину стороны AC:

\[\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}\]

Упростим уравнение:

\[AC \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}\]

\[AC \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}\]

\[AC \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{6} \cdot \sqrt{2}\]

\[AC \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{12}\]

Упростим выражение:

\[AC \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{4} \cdot \sqrt{3}\]

\[AC \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 12 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}\]

\[AC \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 24\sqrt{3}\]

Теперь можем найти длину стороны AC:

\[AC = \frac{24\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\]

\[AC = 24\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\]

\[AC = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\]

\[AC = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}\]

Упростим выражение:

\[AC = 12\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{2}\]

\[AC = 6\sqrt{18}\]

Упростим еще раз:

\[AC = 6\sqrt{9 \cdot 2}\]

\[AC = 6\sqrt{9} \cdot \sqrt{2}\]

\[AC = 6 \cdot 3 \cdot \sqrt{2}\]

\[AC = 18\sqrt{2}\]

Таким образом, длина отрезка At равна 18√2.