Какова длина пружины в своем неподвижном состоянии, если находящийся на наклонной плоскости ящик массой

Мандарин

15

Для решения этой задачи мы можем использовать закон сохранения механической энергии. В начальный момент, когда ящик находится на высоте 0.5 м, его скорость равна нулю и потенциальная энергия равна массе ящика на ускорение свободного падения \( g \) на высоту над основанием наклонной плоскости. Таким образом, начальная потенциальная энергия равна \( m \cdot g \cdot h \), где
\( m = 100 \) кг - масса ящика
\( g = 9.8 \) м/с² - ускорение свободного падения
\( h = 0.5 \) м - высота над основанием наклонной плоскости.

В конечной точке, когда ящик удерживается пружиной на высоте 0.5 м, его скорость снова равна нулю, но потенциальная энергия изменится за счет сжатия пружины. Потенциальная энергия пружины равна половине произведения жесткости пружины \( k \) на квадрат сжатия \( x \). Таким образом, конечная потенциальная энергия равна \( \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2 \), где
\( k = 10000 \) Н/м - жесткость пружины
\( x \) - сжатие пружины.

Закон сохранения механической энергии гласит, что сумма начальной и конечной потенциальной энергии должна оставаться неизменной. То есть,

\[ m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2. \]

Мы можем решить это уравнение относительно \( x \) и выразить его через известные величины. Это позволит нам найти длину пружины в своем неподвижном состоянии, которая равна сумме длины нерастянутой части пружины и сжатия пружины, значит:

\[ L = \ell_0 + x. \]

Где:
\( L \) - длина пружины в своем неподвижном состоянии
\( \ell_0 \) - нерастянутая длина пружины.

Продолжим решение. Раскроем скобки в уравнении:

\[ m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2. \]

\[ 100 \cdot 9.8 \cdot 0.5 = \frac{1}{2} \cdot 10000 \cdot x^2. \]

\[ 4900 = 5000 \cdot x^2. \]

Разделим обе части уравнения на 5000:

\[ x^2 = \frac{4900}{5000}. \]

\[ x^2 = 0.98. \]

Возьмем квадратный корень от обеих частей:

\[ x = \sqrt{0.98} \approx 0.99 \, \text{м}. \]

Теперь найдем длину пружины в своем неподвижном состоянии:

\[ L = \ell_0 + x. \]

На сколько мы сместились пружиной выше начального положения? Мы сместились на высоту \( h = 0.5 \) м.

\[ \ell_0 = L - x = 0.5 \, \text{м} - 0.99 \, \text{м} = -0.49 \, \text{м}. \]

Так как пружина не может иметь отрицательную длину, мы можем сказать, что длина пружины в своем неподвижном состоянии равна 0.49 м.

Таким образом, ответ на задачу состоит в том, что длина пружины в своем неподвижном состоянии равна 0.49 метра.