Какова длина стороны АС в прямоугольном треугольнике АВС, где угол С равен 90 градусов, AB равно 8 и ctgB равно 3/4?

Мила_2674

15

Для решения этой задачи, мы можем использовать теорему косинусов. Теорема косинусов гласит, что в любом треугольнике сторона, возвышающаяся на прямой угол, может быть выражена через две другие стороны и угол между ними.

В данном случае, у нас есть сторона AB, которая равна 8, и угол B. Мы также знаем, что ctgB равно 3/4.

Давайте разложим ctgB на составляющие: ctgB = cosB / sinB. Поскольку мы знаем ctgB и sinB, мы можем найти cosB.

sinB = 1 / ctgB = 1 / (3/4) = 4/3.

Можем воспользоваться тригонометрической теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, где сторона AC является гипотенузой:

AC^2 = AB^2 + BC^2.

Так как у нас есть значение AB равное 8, и угол С равен 90 градусов, то BC будет являться катетом и может быть выражено как:

BC = AB * sinB = 8 * (4/3) = 32/3.

Теперь мы можем найти квадрат длины стороны AC:

AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + (32/3)^2 = 64 + 1024/9 = 576/9 + 1024/9 = 1600/9.

Чтобы найти длину стороны AC, возьмем квадратный корень из обеих сторон:

AC = \(\sqrt{1600/9}\).

Упростим эту дробь:

AC = 40/3.

Таким образом, длина стороны AC в прямоугольном треугольнике ABC равна 40/3.