Какова длина стороны, которая находится напротив угла с наибольшим косинусом при условии, что одна из сторон

Lina

3

Для решения данной задачи, нам понадобится теорема косинусов, которая позволяет нам найти длину стороны прямоугольного треугольника, зная длины двух других сторон и косинус угла между ними.

Пусть стороны треугольника обозначены как a, b и c, а углы, противолежащие этим сторонам, обозначены как A, B и C соответственно. Тогда теорема косинусов имеет следующий вид:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

В данной задаче нам известна длина одной стороны треугольника, пусть это будет сторона а со значением 125. Также нам известны косинусы двух углов, прилежащих к этой стороне. Косинус угла, прилежащего к стороне a, равен 24/25, а косинус угла, прилежащего к стороне с, равен 7/25.

Теперь, используя теорему косинусов, мы можем выразить длину искомой стороны с:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]
\[c^2 = 125^2 + b^2 - 2 \cdot 125 \cdot b \cdot \cos(C)\]

В нашем случае, сторона a равна 125, косинусы углов C и A равны 7/25 и 24/25 соответственно. Подставим данные в наше уравнение:

\[c^2 = 125^2 + b^2 - 2 \cdot 125 \cdot b \cdot \frac{7}{25}\]
\[c^2 = 15625 + b^2 - 14b\]

Чтобы найти длину стороны с, нам нужно найти значение c. Для этого нам нужно решить уравнение:

\[c^2 - 14b + b^2 - 15625 = 0\]

Теперь мы можем решить это уравнение. Найдем его корни, используя квадратное уравнение.

\[c = \frac{-(-14) \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15625)}}{2 \cdot 1}\]
\[c = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 62500}}{2}\]
\[c = \frac{14 \pm \sqrt{62696}}{2}\]
\[c = \frac{14 \pm 250.39}{2}\]

Мы получили два возможных значения для c. Расчет каждого значения предоставляет нам два возможных решения:

\[c_1 = \frac{14 + 250.39}{2} = 132.195\]
\[c_2 = \frac{14 - 250.39}{2} = -118.195\]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы отбрасываем второе значение. Следовательно, длина стороны, которая находится напротив угла с наибольшим косинусом, равна 132.195.