Какова длина стороны ВС в прямоугольном треугольнике АВС, если угол С равен 90 градусов, а тангенс угла А равен 8/15?

Кедр

30

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о тригонометрии и связи между тригонометрическими функциями. Также, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая говорит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

У нас дан угол С, который равен 90 градусам. Это означает, что сторона С является гипотенузой треугольника. Также, у нас дан тангенс угла А, который равен 8/15.

Тангенс угла - это отношение противоположенного катета к прилежащему катету. В нашем случае, противоположенным катетом является сторона А, а прилежащим катетом - сторона В. Мы можем записать это отношение в виде:

\[\tan(A) = \frac{{\text{противоположенный катет}}}{{\text{прилежащий катет}}} = \frac{A}{B}\]

Теперь, мы можем использовать данную информацию вместе с теоремой Пифагора, чтобы решить задачу.

Из теоремы Пифагора, мы знаем, что

\[С^2 = А^2 + В^2\]

Подставив значение угла С, получим:

\[С^2 = А^2 + В^2 = В\\^2 \]

Теперь, мы можем подставить значение тангенса угла А:

\[С^2 = А^2 + (\frac{{8B}}{15})^2\]

Также, мы знаем, что угол С равен 90 градусов, поэтому:

\[С^2 = А^2 + (\frac{{8B}}{15})^2 = B^2\]

Теперь, мы можем упростить уравнение:

\[А^2 + (\frac{{8B}}{15})^2 = B^2\]

\[А^2 + \frac{{64B^2}}{225} = B^2\]

\[А^2 = B^2 - \frac{{64B^2}}{225}\]

\[А^2 = \frac{{225B^2 - 64B^2}}{225}\]

\[А^2 = \frac{{161B^2}}{225}\]

Теперь, найдем А:

\[А = \sqrt{\frac{{161B^2}}{225}}\]

\[А = \frac{{\sqrt{161}B}}{15}\]

Таким образом, длина стороны А равна \(\frac{{\sqrt{161}B}}{15}\), а длина стороны ВС (гипотенузы) равна В.