Какова длина тени сваи на дне водоёма, если угол падения лучей исходит из глубины водоёма, где свая находится, и свая

Мария

67

Для решения этой задачи нам потребуется знание геометрии и тригонометрии. Давайте рассмотрим ситуацию внимательно.

У нас есть свая, которая выступает на 50 см из воды. Представим это на схеме:

\[
\begin{array}{|c|}
\hline
\text{Свая} \\
\hline
\begin{array}{c}
50 \text{ см} \\
\uparrow \\
\end{array} \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь предположим, что уровень воды в водоеме остается неизменным и параллельным земле. Тогда по задаче лучи света идут из глубины водоема и падают на сваю. Обозначим угол падения лучей как \(\alpha\).

Давайте нарисуем вспомогательную схему:

\[
\begin{array}{|c|}
\hline
\text{Свая} \\
\hline
\begin{array}{c}
50 \text{ см} \\
\uparrow \\
\end{array} \\
\hline
\begin{array}{c}
\downarrow \\
\text{Луч света} \\
\end{array} \\
\hline
\begin{array}{c}
\alpha \\
\searrow \\
\end{array} \\
\hline
\end{array}
\]

В этой ситуации у нас есть две пары подобных треугольников, обозначенных на схеме символами "△":

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& \text{Свая} & \\
\hline
△ & △ & \text{Луч света} \\
\hline
& \alpha & \\
\hline
\end{array}
\]

Так как эти треугольники подобны, то отношение длины стороны треугольника, ближайшей к свае, к длине стороны треугольника, ближайшей к лучу света, равно отношению длин их других сторон. Давайте обозначим длину тени сваи на дне водоема как \(x\). Тогда:

\[
\frac{x}{50} = \frac{h}{d}
\]

где \(h\) - глубина водоема, а \(d\) - расстояние от сваи до точки падения луча света на поверхность воды. Мы хотим найти \(x\), поэтому перепишем уравнение, выражая \(x\):

\[
x = 50 \cdot \frac{h}{d}
\]

Для дальнейшего решения нам нужно выразить величины \(h\) и \(d\) через другие известные величины. Здесь нам пригодится знание тригонометрии и основы сходства треугольников.

Из сходства треугольников мы знаем, что угол падения луча света на поверхность воды равен углу преломления. Поскольку мы рассматриваем ситуацию, когда лучи идут из глубины водоема, у нас есть лучше света, падающий на поверхность воды, и луч света, преломленный внутри воды. Обозначим угол преломления как \(\beta\).

Также, с помощью тригонометрии мы знаем, что длина стороны треугольника, соответствующая углу, равна отношению противолежащего катета к гипотенузе данного треугольника. Применим это знание к "△" с лучом света:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& \text{Свая} & \\
\hline
△ & △ & \text{Луч света} \\
\hline
& \alpha & \\
\hline
\end{array}
\]

Мы знаем, что \(\angle ADC = 90^\circ\), поэтому основной тригонометрический соответствующий отношению у нас такой: \(\frac{AD}{AC} = \cos \alpha\). Из этого мы можем выразить \(AC\) через известные величины:

\[
AC = \frac{AD}{\cos \alpha}
\]

Теперь давайте рассмотрим следующий набор подобных треугольников:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& \text{Свая} & \\
\hline
△ & △ & \text{Луч света} \\
\hline
& \alpha & \\
\hline
& \searrow & \\
\hline
& \text{Уровень воды} & \\
\hline
\end{array}
\]

Угол \(\angle ACB\) является вертикальным углом к углу преломления \(\angle BCD\), поэтому они равны. Но у нас именно такой же треугольник с лучом света:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& \text{Свая} & \\
\hline
△ & △ & \text{Луч света} \\
\hline
& \alpha & \\
\hline
& \searrow & \\
\hline
& \text{Уровень воды} & \\
\hline
& & \\
\hline
& \text{Горизонтальная прямая} & \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь мы знаем, что углы \(\angle ACD\) и \(\angle BAC\) согласованы, поскольку они вертикальные. Обозначим \(\angle ACD\) как \(\gamma\). Тогда у нас есть сходные треугольники:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& \text{Свая} & \\
\hline
△ & △ & \text{Луч света} \\
\hline
& \alpha & \\
\hline
& \searrow & \\
\hline
& \text{Уровень воды} & \\
\hline
& & \\
\hline
& \text{Горизонтальная прямая} & \\
\hline
\end{array}
\]

Тогда мы можем записать отношение длин противолежащих катетов к гипотенузам этих треугольников:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\frac{AC}{AD} = \frac{h}{x} & \text{if} & \angle ACD = \gamma \\
\hline
\end{array}
\]

Используя ранее полученное выражение для \(AC\), мы можем переписать уравнение следующим образом:

\[
\frac{\frac{AD}{\cos \alpha}}{AD} = \frac{h}{x}
\]

Упростим его, сокращая \(AD\):

\[
\frac{1}{\cos \alpha} = \frac{h}{x}
\]

Таким образом, выражая \(x\), получаем:

\[
x = \frac{x}{\cos \alpha} \cdot h
\]

Осталось выразить \(\cos \alpha\) через известные величины. Здесь нам пригодится знание о тригонометрических соотношениях треугольника. Мы знаем, что \(\cos \alpha = \frac{d}{AD}\). Таким образом:

\[
x = \frac{x \cdot AD}{d} \cdot h
\]

Здесь \(AD\) это расстояние от сваи до поверхности воды, а мы знаем, что \(h = d + 50\). Подставим это в уравнение:

\[
x = \frac{x \cdot (d + 50)}{d} \cdot h
\]

Воспользуемся свойством равенства долей:

\[
x = x \cdot \frac{d + 50}{d} \cdot (d + 50)
\]

Сократим \(x\):

\[
1 = \frac{d + 50}{d} \cdot (d + 50)
\]

Раскроем скобки:

\[
1 = \frac{d + 50}{d} \cdot d + \frac{d + 50}{d} \cdot 50
\]

Упростим уравнение:

\[
1 = d + 50 + \frac{50 \cdot (d + 50)}{d}
\]

Раскроем скобки:

\[
1 = d + 50 + \frac{50 \cdot d}{d} + \frac{50 \cdot 50}{d}
\]

Упростим полученное уравнение:

\[
1 = d + 50 + 50 + \frac{50 \cdot 50}{d}
\]

Давайте перепишем его в виде квадратного уравнения:

\[
\frac{50 \cdot 50}{d} + d + 100 = 0
\]

Решая это уравнение, мы найдем значение \(d\). Подставим его обратно в \(h = d + 50\), чтобы найти \(h\). Наконец, подставим оба значения в уравнение \(x = \frac{x \cdot (d + 50)}{d} \cdot h\), чтобы найти \(x\), что является длиной тени сваи на дне водоема.

Это подробное решение исходной задачи. Если у вас возникли затруднения с решением, пожалуйста, дайте мне знать, и я с радостью помогу вам.