Какова длина тени сваи на дне водоёма, если угол падения лучей исходит из глубины водоёма, где свая находится, и свая

Мария

67

Для решения этой задачи нам потребуется знание геометрии и тригонометрии. Давайте рассмотрим ситуацию внимательно.

У нас есть свая, которая выступает на 50 см из воды. Представим это на схеме:

$$\begin{array}{|c|}\hline \text{Свая}\\ \begin{array}{c}50\text{ см}\\ \uparrow \end{array}\\ \hline\end{array}$$

Теперь предположим, что уровень воды в водоеме остается неизменным и параллельным земле. Тогда по задаче лучи света идут из глубины водоема и падают на сваю. Обозначим угол падения лучей как $\alpha$.

Давайте нарисуем вспомогательную схему:

$$\begin{array}{|c|}\hline \text{Свая}\\ \begin{array}{c}50\text{ см}\\ \uparrow \end{array}\\ \begin{array}{c}\downarrow \\ \text{Луч света}\end{array}\\ \begin{array}{c}\alpha \\ \searrow \end{array}\\ \hline\end{array}$$

В этой ситуации у нас есть две пары подобных треугольников, обозначенных на схеме символами "△":

$$\begin{array}{|ccc|}\hline & \text{Свая}& \\ △& △& \text{Луч света}\\ & \alpha & \\ \hline\end{array}$$

Так как эти треугольники подобны, то отношение длины стороны треугольника, ближайшей к свае, к длине стороны треугольника, ближайшей к лучу света, равно отношению длин их других сторон. Давайте обозначим длину тени сваи на дне водоема как $x$. Тогда:

$$\frac{x}{50}=\frac{h}{d}$$

где $h$ - глубина водоема, а $d$ - расстояние от сваи до точки падения луча света на поверхность воды. Мы хотим найти $x$, поэтому перепишем уравнение, выражая $x$:

$$x=50\cdot \frac{h}{d}$$

Для дальнейшего решения нам нужно выразить величины $h$ и $d$ через другие известные величины. Здесь нам пригодится знание тригонометрии и основы сходства треугольников.

Из сходства треугольников мы знаем, что угол падения луча света на поверхность воды равен углу преломления. Поскольку мы рассматриваем ситуацию, когда лучи идут из глубины водоема, у нас есть лучше света, падающий на поверхность воды, и луч света, преломленный внутри воды. Обозначим угол преломления как $\beta$.

Также, с помощью тригонометрии мы знаем, что длина стороны треугольника, соответствующая углу, равна отношению противолежащего катета к гипотенузе данного треугольника. Применим это знание к "△" с лучом света:

$$\begin{array}{|ccc|}\hline & \text{Свая}& \\ △& △& \text{Луч света}\\ & \alpha & \\ \hline\end{array}$$

Мы знаем, что $\mathrm{\angle }ADC={90}^{\circ }$, поэтому основной тригонометрический соответствующий отношению у нас такой: $\frac{AD}{AC}=\cos \alpha$. Из этого мы можем выразить $AC$ через известные величины:

$$AC=\frac{AD}{\cos \alpha }$$

Теперь давайте рассмотрим следующий набор подобных треугольников:

$$\begin{array}{|ccc|}\hline & \text{Свая}& \\ △& △& \text{Луч света}\\ & \alpha & \\ & \searrow & \\ & \text{Уровень воды}& \\ \hline\end{array}$$

Угол $\mathrm{\angle }ACB$ является вертикальным углом к углу преломления $\mathrm{\angle }BCD$, поэтому они равны. Но у нас именно такой же треугольник с лучом света:

$$\begin{array}{|ccc|}\hline & \text{Свая}& \\ △& △& \text{Луч света}\\ & \alpha & \\ & \searrow & \\ & \text{Уровень воды}& \\ & & \\ & \text{Горизонтальная прямая}& \\ \hline\end{array}$$

Теперь мы знаем, что углы $\mathrm{\angle }ACD$ и $\mathrm{\angle }BAC$ согласованы, поскольку они вертикальные. Обозначим $\mathrm{\angle }ACD$ как $\gamma$. Тогда у нас есть сходные треугольники:

$$\begin{array}{|ccc|}\hline & \text{Свая}& \\ △& △& \text{Луч света}\\ & \alpha & \\ & \searrow & \\ & \text{Уровень воды}& \\ & & \\ & \text{Горизонтальная прямая}& \\ \hline\end{array}$$

Тогда мы можем записать отношение длин противолежащих катетов к гипотенузам этих треугольников:

$$\begin{array}{|ccc|}\hline \frac{AC}{AD}=\frac{h}{x}& \text{if}& \mathrm{\angle }ACD=\gamma \\ \hline\end{array}$$

Используя ранее полученное выражение для $AC$, мы можем переписать уравнение следующим образом:

$$\frac{\frac{AD}{\cos \alpha }}{AD}=\frac{h}{x}$$

Упростим его, сокращая $AD$:

$$\frac{1}{\cos \alpha }=\frac{h}{x}$$

Таким образом, выражая $x$, получаем:

$$x=\frac{x}{\cos \alpha }\cdot h$$

Осталось выразить $\cos \alpha$ через известные величины. Здесь нам пригодится знание о тригонометрических соотношениях треугольника. Мы знаем, что $\cos \alpha =\frac{d}{AD}$. Таким образом:

$$x=\frac{x\cdot AD}{d}\cdot h$$

Здесь $AD$ это расстояние от сваи до поверхности воды, а мы знаем, что $h=d+50$. Подставим это в уравнение:

$$x=\frac{x\cdot (d+50)}{d}\cdot h$$

Воспользуемся свойством равенства долей:

$$x=x\cdot \frac{d+50}{d}\cdot (d+50)$$

Сократим $x$:

$$1=\frac{d+50}{d}\cdot (d+50)$$

Раскроем скобки:

$$1=\frac{d+50}{d}\cdot d+\frac{d+50}{d}\cdot 50$$

Упростим уравнение:

$$1=d+50+\frac{50\cdot (d+50)}{d}$$

Раскроем скобки:

$$1=d+50+\frac{50\cdot d}{d}+\frac{50\cdot 50}{d}$$

Упростим полученное уравнение:

$$1=d+50+50+\frac{50\cdot 50}{d}$$

Давайте перепишем его в виде квадратного уравнения:

$$\frac{50\cdot 50}{d}+d+100=0$$

Решая это уравнение, мы найдем значение $d$. Подставим его обратно в $h=d+50$, чтобы найти $h$. Наконец, подставим оба значения в уравнение $x=\frac{x\cdot (d+50)}{d}\cdot h$, чтобы найти $x$, что является длиной тени сваи на дне водоема.

Это подробное решение исходной задачи. Если у вас возникли затруднения с решением, пожалуйста, дайте мне знать, и я с радостью помогу вам.