Какова длина векторов a, b и c, если они образуют правую тройку и взаимно перпендикулярны?

Strekoza

63

Чтобы определить длину векторов a, b и c, которые образуют правую тройку и взаимно перпендикулярны, мы можем использовать понятие скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение двух векторов a и b определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними:

\[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta) \]

Также, взаимная перпендикулярность векторов означает, что их скалярное произведение равно нулю:

\[ a \cdot b = 0 \]
\[ b \cdot c = 0 \]
\[ c \cdot a = 0 \]

Из этих уравнений можно получить информацию о длинах векторов.

Представим векторы a, b и c в виде координатных столбцов:

\[ \mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} \]
\[ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} \]
\[ \mathbf{c} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{bmatrix} \]

Теперь, учитывая взаимную перпендикулярность и скалярное произведение, мы можем записать следующие уравнения:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 = 0 \]
\[ \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = b_1 \cdot c_1 + b_2 \cdot c_2 + b_3 \cdot c_3 = 0 \]
\[ \mathbf{c} \cdot \mathbf{a} = c_1 \cdot a_1 + c_2 \cdot a_2 + c_3 \cdot a_3 = 0 \]

Рассмотрим первое уравнение, \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0\). Зная, что a и b образуют правую тройку, мы можем использовать свойство правой тройки чтобы записать это уравнение в виде:

\[ a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 = 0 \]
\[ 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 0 \]
\[ 0 + 0 + 0 = 0 \]

Из этого уравнения видно, что \(a_1 \cdot b_1 = 0\). Это возможно только если хотя бы одно из чисел \(a_1\) или \(b_1\) равно нулю. Пусть \(a_1 = 0\). Тогда уравнение принимает вид:

\[ 0 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 = 0 \]
\[ a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 = 0 \]

Заметим, что это уравнение аналогично первоначальному, поэтому можно сделать вывод, что одна из координат \(a_2\) или \(b_2\) равна нулю. Допустим, \(a_2 = 0\). Тогда получим следующее уравнение:

\[ 0 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 = 0 \]
\[ a_3 \cdot b_3 = 0 \]

Так как \(b_3\) не может быть нулевым (иначе векторы не будут линейно независимыми), то \(a_3 = 0\).

Итак, мы получили, что \(a_1 = 0\), \(a_2 = 0\), \(a_3 = 0\). Это означает, что вектор a имеет нулевую длину:

\[ |a| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + 0^2} = 0 \]

Аналогичные рассуждения можно провести для векторов b и c. Получим, что и их длины также равны нулю:

\[ |b| = 0 \]
\[ |c| = 0 \]

Таким образом, длины векторов a, b и c, образующих правую тройку и взаимно перпендикулярные, равны нулю.