Какова длина касательной, проведенной к шару из точки A, находящейся вне его поверхности на расстоянии 2 от него, если

Арсен

32

Хорошо, давайте решим задачу. У нас есть шар с радиусом \(R = 8\), и мы хотим найти длину касательной, проведенной из точки A, находящейся на расстоянии 2 от центра шара.

Давайте начнем с построения схемы для визуализации. Представьте себе шар с центром в точке O и точкой A находящейся вне его поверхности на расстоянии 2.

Теперь нам нужно найти точку касания касательной с поверхностью шара. Поскольку касательная перпендикулярна радиусу, проведенному из центра шара к точке касательной, мы можем провести радиус из центра шара и найти точку B, где он пересекает поверхность шара.

Так как радиус шара \(R = 8\), а точка A находится на расстоянии 2 от центра шара, значит, расстояние между центром шара и точкой B будет составлять \(R + 2 = 8 + 2 = 10\).

Теперь у нас есть треугольник OAB, где O - центр шара, A - точка вне поверхности шара, B - точка пересечения радиуса и поверхности шара.

Для решения задачи нам потребуется использовать теорему Пифагора. В данном случае, длина касательной \(AB\) является гипотенузой треугольника OAB. Радиус \(OA\) является одной из катетов, а расстояние \(OB\) между центром шара и точкой пересечения - вторым катетом.

Применяя теорему Пифагора, получаем:

\[
AB^2 = OA^2 + OB^2
\]

\[
AB^2 = R^2 + OB^2
\]

\[
AB = \sqrt{R^2 + OB^2}
\]

Подставляя значения, получаем:

\[
AB = \sqrt{8^2 + 10^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164} \approx 12.806
\]

Таким образом, длина касательной, проведенной к шару из точки A, находящейся вне его поверхности на расстоянии 2, составляет около 12.806.