Какова длина высоты, проведённой к основанию, в равнобедренном треугольнике со стороной 7 см и основанием

Лунный_Свет

53

Чтобы найти длину высоты, проведенной к основанию в равнобедренном треугольнике, нам понадобится использовать свойство равнобедренных треугольников. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой угла между равными сторонами треугольника.

Наши данные: сторона треугольника равна 7 см, а основание - нам неизвестно. Пусть основание равно \( b \). Для удобства обозначим также высоту, проведенную к основанию, через \( h \).

Используя свойство биссектрисы, мы можем составить следующее уравнение:

\(\frac{h}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Поскольку у нас есть сторона треугольника, мы можем найти выражение для биссектрисы. С помощью теоремы Пифагора мы можем найти высоту и основание:

\(\frac{b}{2}^2 + h^2 = 7^2\)

Теперь решим полученную систему уравнений. Если решить эту систему, мы найдем значения высоты \( h \) и основания \( b \).

Уравнение 1: \(\frac{h}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Уравнение 2: \(\frac{b}{2}^2 + h^2 = 7^2\)

Сначала решим уравнение 1 относительно \( h \):

\(\frac{h}{b} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Перемножим обе части уравнения на \( b \):

\(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot b\)

Теперь заменим значение \( h \) в уравнении 2:

\(\frac{b}{2}^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot b\right)^2 = 7^2\)

\(\frac{b^2}{4} + \frac{3b^2}{4} = 49\)

Скомбинируем члены с одинаковыми переменными:

\(\frac{4b^2 + 3b^2}{4} = 49\)

\(\frac{7b^2}{4} = 49\)

Умножим обе части уравнения на \(\frac{4}{7}\):

\(b^2 = \frac{4 \cdot 49}{7}\)

\(b^2 = \frac{196}{7}\)

\(b^2 = 28\)

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\(b = \sqrt{28}\)

\(b = 2\sqrt{7}\)

Таким образом, основание равнобедренного треугольника равно \(2\sqrt{7}\) см.

Теперь можем подставить это значение для \( b \) в уравнение 1, чтобы найти значение высоты \( h \):

\(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{7}\)

\(h = \sqrt{3 \cdot 7}\)

\(h = \sqrt{21}\)

Таким образом, длина высоты, проведенной к основанию, в равнобедренном треугольнике со стороной 7 см и основанием \(2\sqrt{7}\) см, равна \(\sqrt{21}\) см.