Какова должна быть максимальная глубина (l), на которой точечный источник света должен находиться в воде с абсолютным

Snegir

59

Для решения данной задачи, необходимо использовать законы оптики, а именно закон преломления Снеллиуса.

Согласно закону Снеллиуса, при переходе луча света из одной среды в другую с разными показателями преломления, выполняется следующее соотношение:

\[ n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2) \]

Где:
\( n_1 \) - показатель преломления среды, из которой луч света приходит,
\( n_2 \) - показатель преломления среды, в которую луч света попадает,
\( \theta_1 \) - угол падения луча света,
\( \theta_2 \) - угол преломления луча света.

Перед тем как перейти к решению, для удобства обозначим некоторые величины:
л - глубина погружения точечного источника света в воду,
d - диаметр пластмассового диска.

Для того, чтобы лучи света не выходили из воды, необходимо, чтобы они всегда отражались от границы воды и пластмассового диска под углом, превышающим критический угол полного внутреннего отражения.

Критический угол полного внутреннего отражения можно вычислить по следующей формуле:

\[ \theta_c = \arcsin\left(\dfrac{1}{n}\right) \]

Где n - абсолютный показатель преломления воды (в данном случае n = 1,33).

Теперь рассмотрим луч света, падающий под углом \( \theta_1 \) на границу воды и пластмассового диска. Данный луч будет преломляться и отражаться от границы.

Угол преломления \( \theta_2 \), который получается после преломления луча света, можно найти с помощью закона Снеллиуса:

\[ n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2) \]

Так как мы хотим, чтобы лучи света не выходили из воды и отражались от границы воды и пластмассы, угол преломления должен быть больше критического угла полного внутреннего отражения:

\[ \theta_2 > \theta_c \]

Из данных условий можно составить следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2) \\
\theta_2 > \theta_c
\end{cases}
\]

Так как точечный источник света находится под центром плавающего пластмассового диска, то угол падения (и угол преломления) луча света будет равен углу, образованному линией пластмассового диска и горизонтальной поверхностью. Очевидно, что данное значение угла равно 90 градусам (так как пластмассовый диск плавает на воде).

Теперь решим систему уравнений и найдем максимально допустимую глубину погружения \( l \).

Из первого уравнения системы:

\[ n_1 \cdot \sin(90^\circ) = n_2 \cdot \sin(\theta_2) \]

Так как \( \sin(90^\circ) = 1 \), получаем:

\[ n_1 = n_2 \cdot \sin(\theta_2) \]

Заменяем \( n_1 \) и \( n_2 \) на соответствующие значения:

\[ 1,33 = 1 \cdot \sin(\theta_2) \]

Так как \( \sin(\theta) \) не может быть больше 1, получаем:

\[ 1,33 > \sin(\theta_2) \]

Из этой неравенства следует, что угол преломления \( \theta_2 \) должен быть меньше 90 градусов, так как это граница значения синуса.

Теперь рассмотрим второе уравнение системы:

\[ \theta_2 > \theta_c \]

Подставляем значение критического угла полного внутреннего отражения:

\[ \theta_2 > \arcsin\left(\dfrac{1}{1,33}\right) \]

Вычисляем значение критического угла полного внутреннего отражения:

\[ \theta_2 > \arcsin\left(\dfrac{1}{1,33}\right) \approx 48,7^\circ \]

Таким образом, угол преломления \( \theta_2 \) должен быть больше 48,7 градусов.

Теперь вернемся к первому уравнению системы:

\[ n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2) \]

Учитывая, что \( \theta_1 = 90^\circ \), \( n_1 = 1 \) и \( n_2 = 1,33 \), получаем:

\[ 1 \cdot \sin(90^\circ) = 1,33 \cdot \sin(\theta_2) \]

Так как \( \sin(90^\circ) = 1 \), упрощаем выражение:

\[ 1 = 1,33 \cdot \sin(\theta_2) \]

Разделим обе части выражения на 1,33:

\[ \dfrac{1}{1,33} = \sin(\theta_2) \]

Вычисляем значение этого выражения:

\[ \sin(\theta_2) \approx 0,7518 \]

Теперь найдем значение угла \( \theta_2 \) с помощью обратной функции синуса:

\[ \theta_2 = \arcsin(0,7518) \]

Вычисляем значение угла:

\[ \theta_2 \approx 48,7^\circ \]

Таким образом, получаем, что максимально допустимая глубина погружения точечного источника света в воду должна быть такой, чтобы угол преломления \( \theta_2 \) был больше \( \theta_c \), то есть больше 48,7 градусов.

Ответ: Максимально допустимая глубина погружения точечного источника света в воду должна быть такой, чтобы угол преломления \( \theta_2 \) был больше 48,7 градусов.