Какова должна быть минимальная толщина тонкой прозрачной плоскопараллельной пластинки с показателем преломления

Валентинович

54

Для решения этой задачи нам понадобятся законы преломления света и дисперсия света.

Первый закон преломления света, также известный как закон Снеллиуса, гласит, что отношение синуса угла падения \(\theta_1\) к синусу угла преломления \(\theta_2\) равно отношению показателей преломления двух сред:

\[n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2)\]

В нашем случае, падающий угол \(i\) составляет 30°, а показатели преломления воздуха и пластинки обозначим как \(n_1\) и \(n_2\) соответственно. Таким образом, у нас есть:

\[n_1 \cdot \sin(30°) = n_2 \cdot \sin(\theta_2)\]

Второй закон преломления света гласит, что угол преломления равен углу падения. То есть \(\theta_2 = \theta_1\).

Теперь рассмотрим дисперсию света. Дисперсия света - это явление расщепления белого света на составные цвета при прохождении через прозрачную среду. Она обуславливается зависимостью показателя преломления материала от длины волны света. В данной задаче нам требуется, чтобы пластинка казалась желтой, так что мы будем использовать желтый свет с длиной волны \(\lambda = 560\) нм.

Показатель преломления для определенной длины волны может быть выражен через показатель преломления для другой длины волны при помощи формулы Кошеля:

\[\dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}\]

где \(c_1\) и \(c_2\) - скорости света в воздухе и в пластинке соответственно.

Подставим значения для желтого света:

\[\dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{\lambda_1}{\lambda_2} = \dfrac{560}{\lambda_2}\]

Мы знаем, что \(n_1 = 1\) (показатель преломления воздуха), \(n_2 = 1,5\) (показатель преломления пластинки) и \(\lambda_1 = 560\) нм.

Подставляем всё в уравнение закона преломления:

\[1 \cdot \sin(30°) = 1,5 \cdot \sin(\theta_2)\]

Используем второй закон преломления \(\theta_2 = \theta_1\):

\[\sin(\theta_1) = 1,5 \cdot \sin(30°)\]

Известно, что \(\sin(30°) = 0,5\), поэтому:

\[\sin(\theta_1) = 1,5 \cdot 0,5 = 0,75\]

Чтобы найти угол \(\theta_1\), возьмем обратный синус от обеих частей уравнения:

\[\theta_1 = \arcsin(0,75)\]

Пользуясь формулой Кошеля:

\[\dfrac{n_2}{n_1} = \dfrac{560}{\lambda_2}\]

Подставляем известные значения:

\[\dfrac{1,5}{1} = \dfrac{560}{\lambda_2}\]

Решаем уравнение относительно \(\lambda_2\):

\[\lambda_2 = \dfrac{560}{1,5} = 373,3 \, \text{нм}\]

Таким образом, чтобы пластинка казалась желтой при прохождении белого света под углом 30°, минимальная толщина пластинки должна быть такая, чтобы показатель преломления для желтого света дал значение в 373,3 нм.