Какова должна быть наименьшая высота, с которой тело должно начать соскальзывать по наклонному желобу, чтобы описать

Звездопад_Шаман

52

Для решения этой задачи нам потребуется применить законы сохранения энергии. При движении тела по наклонной поверхности его полная механическая энергия сохраняется.

Мы можем разделить движение тела на две части: движение вниз по наклонной поверхности и движение вверх по окружности с радиусом 2 м.

При движении вниз по наклонной поверхности, механическая энергия тела будет состоять из его потенциальной энергии и кинетической энергии. Обозначим высоту, с которой тело начинает соскальзывать, как \(h\).

На верхней точке окружности потенциальная энергия тела будет равна нулю. Таким образом, механическая энергия тела на верхней точке окружности полностью состоит из его кинетической энергии.

Исходя из закона сохранения энергии, полная механическая энергия тела должна сохраняться, поэтому:

\[ mgh = \frac{1}{2}mv^2 \]

где \( m \) - масса тела, \( g \) - ускорение свободного падения, \( v \) - скорость тела на верхней точке окружности.

Мы знаем, что ускорение свободного падения \( g = 10 \, м/с^2 \), а радиус окружности \( R = 2 \, м \). Также необходимо учесть, что скорость тела на верхней точке окружности будет направлена горизонтально, то есть ее вертикальная компонента будет равна нулю.

Мы можем выразить скорость тела на верхней точке окружности, используя формулу для равномерного движения по окружности:

\[ v = \omega R \]

где \( \omega \) - угловая скорость тела.

Угловая скорость можно определить, используя формулу для периода обращения тела по окружности:

\[ T = \frac{2 \pi}{\omega} \]

где \( T \) - период обращения тела.

Известно, что период обращения тела равен времени, за которое тело описывает полный круг по окружности. Полный круг соответствует 2-м петлям. Таким образом:

\[ T = 2 \cdot \frac{2 \pi}{\omega} \]

Скорость тела на верхней точке окружности можно выразить через период и радиус:

\[ v = \frac{2 \pi R}{T} \]

Подставляя выражение для скорости в уравнение сохранения энергии, получаем:

\[ mg \cdot h = \frac{1}{2}m \left(\frac{2 \pi R}{T}\right)^2 \]

Уравнение можно упростить, учитывая, что масса тела \( m \) сократится:

\[ gh = \frac{1}{2} \left(\frac{2 \pi R}{T}\right)^2 \]

Для нахождения наименьшей высоты, с которой тело должно начать соскальзывать по наклонному желобу, чтобы описать "мертвую петлю" радиусом 2 м, не отрываясь от желоба в верхней точке, необходимо выбрать максимально возможное значение периода обращения \( T \). Это произойдет, когда тяжелая точка тела находится на самом удаленном от оси вращения расстоянии (наибольший момент инерции). В этом случае, для того чтобы тело не оторвалось от желоба в верхней точке, необходимо, чтобы вся масса находилась в верхней половине петли.

Масса тела сократится в уравнении, поэтому она не будет влиять на наименьшую высоту, с которой тело должно начать соскальзывать. Таким образом, упрощенное уравнение будет выглядеть следующим образом:

\[ gh = \frac{1}{2} \left(\frac{2 \pi R}{T}\right)^2 \]

Подставим значения \( g = 10 \, м/с^2 \) и \( R = 2 \, м \) в уравнение:

\[ 10h = \frac{1}{2} \left(\frac{2 \pi \cdot 2}{T}\right)^2 \]

Теперь нужно найти наименьшее значение \( h \), следовательно, нужно выбрать максимальное значение \( T \). Когда вся масса тела сконцентрирована в верхней половине петли, максимальное значение \( T \) достигается тогда, когда вся центробежная сила \( F_c \) направлена наверх. Центробежная сила \( F_c \) образуется при движении тела по окружности и направлена от центра окружности к телу, поэтому в данном случае она направлена вниз. Центробежная сила определяется как:

\[ F_c = m \frac{v^2}{R} \]

где \( m \) - масса тела, \( v \) - скорость тела на верхней точке окружности, \( R \) - радиус окружности.

Мы знаем, что \( F_c = mg \), поэтому:

\[ m \frac{v^2}{R} = mg \]

\[ v^2 = gR \]

Подставим значения \( g = 10 \, м/с^2 \) и \( R = 2 \, м \) в уравнение:

\[ v^2 = 10 \cdot 2 \]

\[ v^2 = 20 \]

\[ v = \sqrt{20} \]

\[ v \approx 4.47 \, м/с \]

Теперь мы можем выразить период обращения \( T \) через скорость:

\[ T = \frac{2 \pi R}{v} \]

Подставим значения \( R = 2 \, м \) и \( v \approx 4.47 \, м/с \) в уравнение:

\[ T = \frac{2 \pi \cdot 2}{4.47} \]

\[ T \approx 2.83 \, сек \]

Теперь, когда у нас есть значение периода обращения \( T \), мы можем найти наименьшую высоту \( h \). Подставим значения \( T \approx 2.83 \, сек \) и \( g = 10 \, м/с^2 \) в уравнение:

\[ 10h = \frac{1}{2} \left(\frac{2 \pi \cdot 2}{2.83}\right)^2 \]

\[ 10h \approx 14.05 \, м \]

\[ h \approx 1.41 \, м \]

Таким образом, наименьшая высота, с которой тело должно начать соскальзывать по наклонному желобу, чтобы описать "мертвую петлю" радиусом 2 м, не отрываясь от желоба в верхней точке, составляет примерно 1.41 метра.