Какова эластичность предложения в точке рыночного равновесия в математической модели рынка товара с функциями спроса

Солнечный_Феникс

55

Для решения данной задачи нам потребуется найти эластичность предложения в точке рыночного равновесия в математической модели рынка товара.

Для начала, нам необходимо определить точку равновесия на рынке товара. Рыночное равновесие наступает в тот момент, когда спрос на товар равен его предложению. То есть, D(p) = S(p).

Подставим заданные функции спроса и предложения в равенство и решим уравнение относительно p:

\(\frac{56}{p+4}+6 = 10+\ln(0.1p)\)

Для удобства решения данного уравнения, можно привести его к общему знаменателю и преобразовать его:

\(\frac{56+6(p+4)}{p+4} = 10+\ln(0.1p)\)

\(\frac{56+6p+24}{p+4} = 10+\ln(0.1p)\)

\(\frac{6p+80}{p+4} = 10+\ln(0.1p)\)

Теперь уравнение готово к решению.

Перенесём все слагаемые на одну сторону:

\(\frac{6p+80}{p+4} - (10+\ln(0.1p)) = 0\)

Распишем логарифм:

\(\frac{6p+80}{p+4} - 10 - \ln(0.1p) = 0\)

Упростим дробь:

\(\frac{6p+80 - 10(p+4)}{p+4} - \ln(0.1p) = 0\)

Раскроем скобки:

\(\frac{6p+80 - 10p-40}{p+4} - \ln(0.1p) = 0\)

Далее, объединим слагаемые:

\(\frac{-4p+40}{p+4} - \ln(0.1p) = 0\)

Домножим оба выражения на (p+4), чтобы избавиться от знаменателя:

\((-4p+40) - (p+4)\ln(0.1p) = 0\)

Раскроем скобки:

\(-4p+40 - p\ln(0.1p) - 4\ln(0.1p) = 0\)

Перенесём все слагаемые на одну сторону:

\(-4p - p\ln(0.1p) - 4\ln(0.1p) + 40 = 0\)

В данном случае нет простого способа найти аналитическое решение для p, поэтому мы можем воспользоваться численными методами для его приближенного определения.

Например, с помощью метода половинного деления (бинарного поиска), мы пошагово будем уточнять значение p. Начнём поиск, определив начальный интервал, в котором находится искомое решение. В данном случае это интервал от 0 до 10, так как p - цена товара в рублях.

Затем, выполняем итерации, на каждом этапе проверяя, на какой половине отрезка (левая или правая) находится решение. При каждой итерации мы будем делить отрезок пополам и проверять соответствующую половину. Процесс будет продолжаться до достижения требуемой точности.

Таким образом, мы найдем приближенное значение p в точке рыночного равновесия, которое пересечение кривых спроса и предложения.

Получив значение p, можно подставить его в функцию предложения или спроса, чтобы найти соответствующие значения. Убедитесь, что цены и количество товара находятся в разумных пределах и соответствуют ожидаемой модели.