Какова емкость конденсатора, состоящего из металлического шара радиусом 5 см, окруженного слоем диэлектрика (ε

Karina

52

Для решения данной задачи нам потребуется применить формулу для емкости конденсатора, которая определяется как отношение заряда \(Q\) на обкладках конденсатора к разности потенциалов \(V\) между ними:

\[C = \frac{Q}{V}\]

Для начала, давайте найдем заряд \(Q\). Заряд на обкладках конденсатора можно определить как разность заряда электронов, сконцентрированных на внутренней и внешней поверхностях конденсатора.

Заряд на внешней поверхности конденсатора можно найти, используя формулу для заряда металлического шара:

\[Q_{\text{внешний}} = 4\pi \epsilon_0 R_{\text{внешний}}^2\]

где \(\epsilon_0\) - электрическая постоянная, \(R_{\text{внешний}}\) - радиус металлической сферы.

Заряд на внутренней поверхности конденсатора можно найти, вычтя заряд на внешней поверхности из общего заряда металлической сферы:

\[Q_{\text{внутренний}} = Q_{\text{общий}} - Q_{\text{внешний}}\]

Теперь, когда у нас есть заряд на обкладках конденсатора, мы можем найти разность потенциалов \(V\).

Разность потенциалов между обкладками конденсатора можно определить, используя следующую формулу:

\[V = \frac{Q}{C_{\text{общ}}}\]

где \(C_{\text{общ}}\) - емкость конденсатора с диэлектриком и слоем между обкладками.

Теперь, давайте подставим все известные значения в формулы.

Заряд на внешней поверхности конденсатора:

\[Q_{\text{внешний}} = 4\pi \epsilon_0 R_{\text{внешний}}^2\]

Подставляем значение радиуса \(R_{\text{внешний}} = 7 \, \text{см}\) и численное значение для электрической постоянной \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м}\):

\[Q_{\text{внешний}} = 4\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.07^2\]

Вычисляем значение и получаем:

\[Q_{\text{внешний}} \approx 8.27 \times 10^{-11} \, \text{Кл}\]

Теперь найдем общий заряд металлической сферы. Общий заряд металлической сферы можно найти, используя формулу для заряда металлического шара:

\[Q_{\text{общий}} = 4\pi \epsilon_0 R_{\text{внутренний}}^2\]

Подставляем значение радиуса \(R_{\text{внутренний}} = 5 \, \text{см}\) и численное значение для электрической постоянной \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{Ф/м}\):

\[Q_{\text{общий}} = 4\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 0.05^2\]

Вычисляем значение и получаем:

\[Q_{\text{общий}} \approx 1.24 \times 10^{-10} \, \text{Кл}\]

Теперь можем рассчитать заряд на внутренней поверхности:

\[Q_{\text{внутренний}} = Q_{\text{общий}} - Q_{\text{внешний}}\]

\[Q_{\text{внутренний}} = 1.24 \times 10^{-10} - 8.27 \times 10^{-11} \, \text{Кл}\]

\[Q_{\text{внутренний}} \approx 4.15 \times 10^{-11} \, \text{Кл}\]

Теперь можем рассчитать разность потенциалов между обкладками конденсатора:

\[V = \frac{Q}{C_{\text{общ}}}\]

\[V = \frac{4.15 \times 10^{-11}}{C_{\text{общ}}}\]

Осталось найти емкость конденсатора \(C_{\text{общ}}\). Зная, что емкость конденсатора определяется как отношение заряда \(Q\) на обкладках к разности потенциалов \(V\) между ними:

\[C_{\text{общий}} = \frac{Q_{\text{обкладки}}}{V}\]

\[C_{\text{общий}} = \frac{4.15 \times 10^{-11}}{V}\]

Таким образом, ответ состоит в вычислении значения емкости конденсатора \(C_{\text{общий}}\) по заданной формуле, подставляя известные значения:

\[C_{\text{общий}} = \frac{4.15 \times 10^{-11}}{\frac{4.15 \times 10^{-11}}{C_{\text{общий}}}}\]

После сокращения \(C_{\text{общий}}\) получается:

\[C_{\text{общий}} = 1\]

Таким образом, емкость данного конденсатора равна 1 Фарад.

Примечание: В решении данной задачи были использованы численные значения для электрической постоянной и размеров конденсатора. Если нужны более точные значения, следует использовать точные числовые значения для этих констант.