Какова энтропия для выборки двух шаров из урны, где находятся два белых и один черный шар? Спасибо

Darya_7989

40

Хорошо, рассмотрим эту задачу. Для начала, нам необходимо понять, что такое энтропия и как рассчитать ее значение для данной выборки.

Энтропия - это мера неопределенности или разнородности элементов в выборке. Чем больше неопределенность, тем больше значение энтропии. В данной задаче, нам нужно найти энтропию для выборки двух шаров из урны, где в урне находятся два белых и один черный шар.

Для рассчета энтропии, мы будем использовать формулу Шеннона:

\[H(X) = - \sum_{i=1}^{n} P(x_i) \cdot \log_{2}P(x_i)\]

Где:
- \(H(X)\) - энтропия выборки X
- \(P(x_i)\) - вероятность события \(x_i\)

В нашем случае, у нас есть три возможных события:
1) Вытащить два белых шара из урны.
2) Вытащить один черный и один белый шары.
3) Вытащить два черных шара.

Начнем с рассчета вероятностей каждого из этих событий.

1) Вероятность вытащить два белых шара:
Мы вытаскиваем первый шар из урны, он может быть любого цвета, поэтому вероятность составляет 1. Затем мы вытаскиваем второй шар, который должен быть белым. В урне останется только один белый шар, поэтому вероятность вытянуть его составляет 1/2. Таким образом, общая вероятность этого события равна \(1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\).

2) Вероятность вытащить один черный и один белый шар:
Мы вытаскиваем первый шар, вероятность вытащить черный шар равна 1/3, потому что в урне находится один черный шар и два белых. Затем, после вытащенного черного шара, в урне останется один черный и один белый шар, поэтому вероятность вытащить белый шар составляет 1/2. Учитывая два возможных порядка вытаскивания (черный-белый или белый-черный), общая вероятность этого события будет равна \(2 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}\).

3) Вероятность вытащить два черных шара:
Мы вытаскиваем первый шар, его вероятность быть черным составляет 1/3. Затем после вытащенного черного шара, в урне останутся только два черных шара, поэтому вероятность вытащить второй черный шар равна 1/2. Таким образом, общая вероятность этого события равна \(1 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}\).

Теперь, подставив рассчитанные значения вероятностей в формулу Шеннона, мы можем рассчитать энтропию выборки.

\[H(X) = - \left(\frac{1}{2} \cdot \log_{2}\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot \log_{2}\frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \log_{2}\frac{1}{6}\right)\]

Выполнив вычисления, мы получим значение энтропии выборки двух шаров из урны.