Какова форма уравнения директрисы параболы, заданной в канонической системе координат и проходящей через точку (25;10)?

Yantar_3607

44

Для начала, давайте вспомним, что такое каноническая форма параболы. Парабола может быть записана в виде уравнения \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - это некоторые константы. Однако, уравнение директрисы параболы требует некоторого дополнительного объяснения.

Директриса параболы - это прямая, которая является геометрическим местом точек, равноудаленных от фокуса и прямой оси симметрии параболы. Давайте обозначим точку фокуса как \(F\) и точку на директрисе как \(D\). Поскольку точка \(D\) равноудалена от фокуса \(F\) и оси симметрии, у нас есть следующее соотношение:

\[|DF| = |DP|\]

Где \(P\) - это произвольная точка на параболе. Так как парабола имеет каноническую форму, то она симметрична относительно вертикальной линии (оси симметрии), то есть фокус \(F\) находится на расстоянии \(|DF|\) от директрисы \(D\).

Теперь давайте перейдем к решению задачи. Мы знаем, что парабола проходит через точку \((25, 10)\). В канонической форме уравнение параболы имеет вид \(y = ax^2\), где \(a\) - это коэффициент, который мы должны найти.

Для того, чтобы найти \(a\), мы можем использовать информацию о точке и свойство параболы: расстояние от фокуса до директрисы равно удвоенному модулю коэффициента \(a\). Расстояние между \(F\) и \(D\) это \(|DF|\), а по свойству параболы, оно равно \(2|a|\).

Таким образом, мы имеем:

\[2|a| = |DF| = |DP|\]

Мы также знаем, что \(D\) проходит через точку \((25, 10)\), поэтому у нас есть:

\[|DP| = |y - 10|\]
\[|y - 10| = 2|a|\]

Теперь давайте найдем значение коэффициента \(a\). Поскольку мы знаем, что парабола проходит через точку \((25, 10)\), мы можем подставить эти значения в уравнение и решить его:

\[|10 - 10| = 2|a|\]
\[0 = 2|a|\]
\[2|a| = 0\]
\[|a| = 0\]

Получается, что \(|a| = 0\), что означает, что \(a = 0\). Таким образом, уравнение параболы принимает следующий вид:

\[y = 0x^2 + 0x + c\]

Поскольку \(a = 0\), то лидирующий коэффициент \(a\) равен нулю, что делает параболу горизонтальной прямой.

Подставляя координаты точки \((25, 10)\), для которой парабола проходит, мы можем найти значение \(c\):

\[10 = 0 \cdot 25^2 + 0 \cdot 25 + c\]
\[10 = c\]

Таким образом, уравнение директрисы горизонтальной параболы, проходящей через точку \((25, 10)\), заданной в канонической системе координат, имеет вид \(y = 10\).

Фокус параболы находится на оси симметрии, и поскольку директриса задана как \(y = 10\), фокус находится на том же уровне, то есть \(y = 10\).

Надеюсь, это ответит на ваш вопрос и будет понятно для школьника. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!