Какова индукция магнитного поля внутри плоского конденсатора радиусом 10 см, когда напряженность внутри него линейно

Японка_8532

47

Для решения этой задачи мы можем использовать закон Фарадея о том, что индукция магнитного поля \(B\) внутри проводящей петли равна производной магнитного потока \(\Phi\) через эту петлю по времени:

\[B = \frac{d\Phi}{dt}\]

В нашем случае проводящая петля - это круговая область внутри плоского конденсатора. Для простоты будем считать, что область имеет радиус \(R = 10\) см, и что индукция магнитного поля является константой на всей площади области.

Для определения магнитного поля внутри области, нам необходимо вычислить изменение магнитного потока \(\Delta\Phi\) через круговую площадь области в течение очень малого промежутка времени \(\Delta t\) и разделить его на \(\Delta t\).

Магнитный поток через площадь области можно выразить как:

\[\Phi = B \cdot A\]

где \(A\) - площадь петли.

Площадь петли радиусом \(R\) равна:

\[A = \pi R^2\]

Теперь мы можем записать изменение магнитного потока в течение промежутка времени \(\Delta t\) как:

\[\Delta \Phi = B \cdot \Delta A\]

где \(\Delta A\) - изменение площади петли в течение промежутка времени \(\Delta t\).

Так как индукция магнитного поля внутри проводящей петли является константой, то мы можем записать:

\[\Delta \Phi = B \cdot \Delta A = B \cdot (\pi (R + \Delta R)^2 - \pi R^2)\]

где \(\Delta R\) - изменение радиуса петли в течение промежутка времени \(\Delta t\).

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получаем:

\[\Delta \Phi = B \cdot (\pi (R^2 + 2R\Delta R + (\Delta R)^2) - \pi R^2)\]

\[\Delta \Phi = B \cdot (\pi R^2 + 2\pi R\Delta R + \pi (\Delta R)^2 - \pi R^2)\]

\[\Delta \Phi = B \cdot (2\pi R \Delta R + \pi (\Delta R)^2)\]

Теперь мы можем разделить изменение магнитного потока \(\Delta \Phi\) на промежуток времени \(\Delta t\):

\[\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = \frac{B \cdot (2\pi R \Delta R + \pi (\Delta R)^2)}{\Delta t}\]

Значение величины \(\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}\) представляет собой индукцию магнитного поля \(B\) внутри проводящей петли.

Теперь важно заметить, что в условии задачи напряженность \(\mathbf{E}\) внутри плоского конденсатора линейно возрастает со временем по закону:

\[\mathbf{E} = \alpha t\]

где \(\alpha = 9 \times 10^{10}\ В \cdot м \cdot с\).

Так как напряженность \(\mathbf{E}\) является первой производной от потенциала, то мы можем записать:

\[\mathbf{E} = -\frac{\partial V}{\partial x}\]

где \(x\) - расстояние внутри плоского конденсатора.

Поскольку напряженность возрастает линейно, потенциал \(V\) можно записать как:

\[V = \int \mathbf{E} \cdot dx = \int \alpha t \cdot dx\]

так как производную берем по \(x\).

Интегрируя, получим:

\[V = \alpha \int t \cdot dx = \alpha t \int dx\]

Так как внутри плоского конденсатора напряженность изменяется только по одной оси, то интеграл \(\int dx\) представляет собой расстояние между плоскостями конденсатора, равное толщине конденсатора \(d\). Таким образом, мы получаем:

\[V = \alpha t \cdot d\]

Теперь мы можем найти изменение потенциала \(\Delta V\) внутри плоского конденсатора в течение промежутка времени \(\Delta t\):

\[\Delta V = V(\Delta t) - V(0) = (\alpha \cdot \Delta t \cdot d) - (0 \cdot d) = \alpha \cdot \Delta t \cdot d\]

\[\Delta V = \alpha \cdot \Delta t \cdot d\]

Теперь, обратим внимание на то, что \(\Delta V\) - это разность потенциала между двумя плоскостями конденсатора, а значит, это напряжение, которое мы можем использовать для расчета изменения радиуса петли.

Мы знаем, что напряжение между плоскими конденсаторами определяется разностью потенциалов:

\[\Delta V = E \cdot d\]

где \(E\) - напряженность электрического поля между плоскими конденсаторами, а \(d\) - расстояние между ними.

Таким образом, мы можем записать:

\[\alpha \cdot \Delta t \cdot d = E \cdot d\]

Отсюда получаем:

\[E = \alpha \cdot \Delta t\]

Теперь, когда мы знаем значение напряженности \(\mathbf{E}\) внутри плоского конденсатора, мы можем вычислить индукцию магнитного поля \(B\) внутри проводящей петли:

\[B = \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = \frac{B \cdot (2\pi R \Delta R + \pi (\Delta R)^2)}{\Delta t} = \alpha \cdot \Delta t\]

Теперь, подставляя значение \(\alpha = 9 \times 10^{10}\ В \cdot м \cdot с\) и зная, что \(\Delta t\) - это очень малый промежуток времени, можно сделать предположение, что изменение радиуса петли \(\Delta R\) также является очень малым. Поэтому можно пренебречь вторым слагаемым \(\pi (\Delta R)^2\) в числителе выражения.

Таким образом, мы можем записать:

\[B = \alpha \cdot \Delta t = 9 \times 10^{10}\ В \cdot м \cdot с\]

Итак, индукция магнитного поля \(B\) внутри плоского конденсатора радиусом 10 см, когда напряженность внутри него линейно возрастает со временем по закону \(E = \alpha t\), равна \(9 \times 10^{10}\ В \cdot м \cdot с\).

Надеюсь, этот ответ был понятен и подробен для вас. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.