Какова максимальная относительная потеря энергии первой частицы, когда она сталкивается с покоящейся частицей, масса

Изумрудный_Пегас

64

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы сохранения механической энергии и импульса.

Для начала, давайте найдем начальную и конечную скорости обеих частиц перед и после столкновения.

Используем закон сохранения импульса:

\[ m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i} = m_1 \cdot v_{1f} + m_2 \cdot v_{2f} \]

Где:
- \( m_1 = 4 \times 10^{-20} \) г - масса первой частицы,
- \( m_2 = 10^{-19} \) г - масса второй частицы (покоящейся),
- \( v_{1i} \) - начальная скорость первой частицы,
- \( v_{2i} = 0 \) - начальная скорость второй частицы (покоящейся),
- \( v_{1f} \) - конечная скорость первой частицы после столкновения,
- \( v_{2f} \) - конечная скорость второй частицы после столкновения.

Так как столкновение является абсолютно упругим, то закон сохранения энергии также применяется:

\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot v_{1i}^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_{2i}^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 \cdot v_{2f}^2 \]

Заметим, что в начале скорость второй частицы (покоящейся) равна нулю, поэтому энергия первой частицы в начальный момент времени равна кинетической энергии:

\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot v_{1i}^2 \]

Используя эти два уравнения, мы можем найти конечную скорость первой частицы после столкновения \( v_{1f} \).

Сначала, выразим \( v_{2f} \) из уравнения сохранения импульса:

\[ v_{2f} = \frac{m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i} - m_1 \cdot v_{1f}}{m_2} \]

Теперь, вставим это в уравнение сохранения энергии:

\[ \frac{1}{2} m_1 \cdot v_{1i}^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 \left( \frac{m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i} - m_1 \cdot v_{1f}}{m_2} \right)^2 \]

Упрощая это уравнение, получим:

\[ m_1 \cdot v_{1i}^2 = m_1 \cdot v_{1f}^2 + \left( m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i} - m_1 \cdot v_{1f} \right)^2 \]

После некоторых алгебраических преобразований, уравнение примет вид:

\[ m_1^2 \cdot v_{1f}^2 - 2 \cdot m_1 \cdot (m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i}) \cdot v_{1f} + (m_1 \cdot v_{1i})^2 - m_1 \cdot v_{1i} \cdot (2 \cdot m_2 \cdot v_{2i}) + (m_2 \cdot v_{2i})^2 = 0 \]

Теперь, мы можем решить это квадратное уравнение относительно \( v_{1f} \) с использованием дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Где:
- \( a = m_1^2 \),
- \( b = -2 \cdot m_1 \cdot (m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i}) \),
- \( c = (m_1 \cdot v_{1i})^2 - m_1 \cdot v_{1i} \cdot (2 \cdot m_2 \cdot v_{2i}) + (m_2 \cdot v_{2i})^2 \).

Теперь, найдем \( v_{1f} \) с помощью формулы:

\[ v_{1f} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Сначала вычислим \( D \):

\[ D = (-2 \cdot m_1 \cdot (m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i}))^2 - 4 \cdot m_1^2 \cdot \left[ (m_1 \cdot v_{1i})^2 - m_1 \cdot v_{1i} \cdot (2 \cdot m_2 \cdot v_{2i}) + (m_2 \cdot v_{2i})^2 \right] \]

После упрощения получим:

\[ D = 4 \cdot m_1^2 \cdot (m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i})^2 - 4 \cdot m_1^2 \cdot \left[ (m_1 \cdot v_{1i})^2 - m_1 \cdot v_{1i} \cdot (2 \cdot m_2 \cdot v_{2i}) + (m_2 \cdot v_{2i})^2 \right] \]

Теперь вычислим \( v_{1f} \) подставляя значения \( a \), \( b \), \( c \) и \( D \) в формулу:

\[ v_{1f} = \frac{-(-2 \cdot m_1 \cdot (m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i})) \pm \sqrt{4 \cdot m_1^2 \cdot (m_1 \cdot v_{1i} + m_2 \cdot v_{2i})^2 - 4 \cdot m_1^2 \cdot \left[ (m_1 \cdot v_{1i})^2 - m_1 \cdot v_{1i} \cdot (2 \cdot m_2 \cdot v_{2i}) + (m_2 \cdot v_{2i})^2 \right]}}{2 \cdot m_1^2} \]

Теперь, используя найденную конечную скорость первой частицы \( v_{1f} \), мы можем найти относительную потерю энергии первой частицы с помощью формулы:

\[ \text{Относительная потеря энергии (\%)} = \frac{m_1 \cdot v_{1f}^2}{\frac{1}{2} m_1 \cdot v_{1i}^2} \times 100 \]

Подставим значения масс \( m_1 \) и \( m_2 \), и начальную скорость \( v_{1i} \) в это выражение, чтобы получить искомый ответ. Ответ должен быть верным для любых заданных значений масс и скорости. Для удобства расчета можно использовать стандартные значения физических констант.