Какова максимальная скорость груза, который совершает гармонические колебания с законом движения x(t) = 0,05sin 2πt?

Печенье

45

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться формулами, связывающими скорость \(v(t)\) и координату \(x(t)\) гармонического движения. Для вида движения \(x(t) = A\sin(\omega t + \varphi)\) скорость определяется следующим образом:

\[v(t) = \frac{dx}{dt} = \omega A \cos(\omega t + \varphi),\]

где \(\omega\) - угловая частота движения.

В нашем случае у нас есть закон движения \(x(t) = 0,05\sin(2\pi t)\). Заметим, что данное выражение соответствует закону движения с амплитудой \(A = 0,05\) и угловой частотой \(\omega = 2\pi\), а также отсутствием начальной фазы (\(\varphi = 0\)).

Теперь мы можем найти максимальную скорость груза, то есть наибольшее значение скорости в течение гармонических колебаний. Для этого нам необходимо найти максимальное значение функции скорости \(v(t)\) в заданном интервале времени.

Подставим выражение для скорости \(v(t)\) в нашем случае:

\[v(t) = \omega A \cos(2\pi t).\]

Теперь найдем максимальное значение функции \(\cos(2\pi t)\). Заметим, что \(\cos(2\pi t)\) принимает значения от -1 до 1. Максимальное значение достигается при \(\cos(2\pi t) = 1\). Это происходит, когда \(2\pi t = 0\), т.е. \(t = 0\). Таким образом, максимальная скорость груза достигается в момент времени \(t = 0\).

Подставим \(t = 0\) в выражение для скорости:

\[v(0) = \omega A \cos(2\pi \cdot 0) = \omega A \cdot 1 = \omega A = 2\pi \cdot 0,05 = 0,1 \, \text{м/с}.\]

Таким образом, максимальная скорость груза, который совершает гармонические колебания с заданным законом движения, равна 0,1 м/с.