Какова максимальная скорость математического маятника массой 112 г в процессе его подъема на наибольшую высоту?

Sverkayuschiy_Gnom_5877

42

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать законы сохранения энергии. Начнем с того, что найдем потенциальную энергию математического маятника на его наибольшей высоте.

Потенциальная энергия \(E_{\text{п}}\) связана с высотой \(h\) и массой \(m\) следующим образом:

\[E_{\text{п}} = m \cdot g \cdot h\]

Где \(g\) - ускорение свободного падения, \(m\) - масса математического маятника, \(h\) - высота наибольшего подъема.

Теперь нам нужно найти это значение высоты. Для этого мы можем использовать закон сохранения механической энергии. Механическая энергия \(E_{\text{мех}}\) в начале и в конце движения остается const (постоянной), то есть:

\[E_{\text{мех нач}} = E_{\text{мех кон}}\]

Мы можем представить механическую энергию как сумму кинетической (\(E_{\text{к}}\)) и потенциальной (\(E_{\text{п}}\)) энергии:

\[E_{\text{мех}} = E_{\text{к}} + E_{\text{п}}\]

Наибольшая высота достигается в точке, где скорость маятника будет равна нулю (\(v = 0\)). Тогда кинетическая энергия \((E_{\text{к}})\) будет равна нулю.

\[E_{\text{мех нач}} = E_{\text{п нач}}\]
\[0 + 0 = m \cdot g \cdot h_{\text{кон}}\]

Таким образом, мы можем использовать эту формулу, чтобы найти высоту:

\[h_{\text{кон}} = \frac{E_{\text{мех нач}}}{m \cdot g}\]

Теперь, чтобы найти максимальную скорость математического маятника в процессе его подъема, мы можем использовать закон сохранения механической энергии между начальной точкой (нижняя точка) и точкой наибольшей высоты:

\[E_{\text{мех нач}} = E_{\text{мех кон}}\]
\[E_{\text{к нач}} + E_{\text{п нач}} = E_{\text{к кон}} + E_{\text{п кон}}\]

Так как максимальная высота достигается в точке, где скорость маятника равна нулю, то кинетическая энергия в конечной точке также равна нулю (\(E_{\text{к кон}} = 0\)).

\[E_{\text{к нач}} + E_{\text{п нач}} = 0 + m \cdot g \cdot h_{\text{кон}}\]
\[E_{\text{к нач}} = -m \cdot g \cdot h_{\text{кон}}\]

Теперь вспомним, что кинетическая энергия \(E_{\text{к}}\) связана со скоростью \(v\) и массой \(m\) следующим образом:

\[E_{\text{к}} = \frac{1}{2} m \cdot v^2\]

Теперь мы можем найти максимальную скорость:

\[\frac{1}{2} m \cdot v^2 = -m \cdot g \cdot h_{\text{кон}}\]
\[v^2 = -2 \cdot g \cdot h_{\text{кон}}\]
\[v = \sqrt{-2 \cdot g \cdot h_{\text{кон}}}\]

Теперь мы можем подставить известные значения и решить задачу:

\[v = \sqrt{-2 \cdot 9,8 \cdot h_{\text{кон}}}\]
\[v = \sqrt{-19,6 \cdot h_{\text{кон}}}\]

Но у нас есть масса маятника \(m\) в граммах, а не в килограммах. Чтобы использовать данное значение массы в формуле, нужно привести массу килограммов:

\[m = 112 \, \text{г} = 0,112 \, \text{кг}\]

Теперь мы можем вычислить максимальную скорость математического маятника:

\[v = \sqrt{-19,6 \cdot h_{\text{кон}}}\]
\[v = \sqrt{-19,6 \cdot \frac{E_{\text{мех нач}}}{m \cdot g}}\]
\[v = \sqrt{-19,6 \cdot \frac{m \cdot g \cdot h_{\text{кон}}}{m \cdot g}}\]
\[v = \sqrt{-19,6 \cdot h_{\text{кон}}}\]