Какова максимальная скорость математического маятника массой 112 г в процессе его подъема на наибольшую высоту?

Sverkayuschiy_Gnom_5877

42

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать законы сохранения энергии. Начнем с того, что найдем потенциальную энергию математического маятника на его наибольшей высоте.

Потенциальная энергия $E_{\text{п}}$ связана с высотой $h$ и массой $m$ следующим образом:

$$E_{\text{п}}=m\cdot g\cdot h$$

Где $g$ - ускорение свободного падения, $m$ - масса математического маятника, $h$ - высота наибольшего подъема.

Теперь нам нужно найти это значение высоты. Для этого мы можем использовать закон сохранения механической энергии. Механическая энергия $E_{\text{мех}}$ в начале и в конце движения остается const (постоянной), то есть:

$$E_{\text{мех нач}}=E_{\text{мех кон}}$$

Мы можем представить механическую энергию как сумму кинетической ($E_{\text{к}}$) и потенциальной ($E_{\text{п}}$) энергии:

$$E_{\text{мех}}=E_{\text{к}}+E_{\text{п}}$$

Наибольшая высота достигается в точке, где скорость маятника будет равна нулю ($v=0$). Тогда кинетическая энергия $(E_{\text{к}})$ будет равна нулю.

$$E_{\text{мех нач}}=E_{\text{п нач}}$$
$$0+0=m\cdot g\cdot h_{\text{кон}}$$

Таким образом, мы можем использовать эту формулу, чтобы найти высоту:

$$h_{\text{кон}}=\frac{E_{\text{мех нач}}}{m\cdot g}$$

Теперь, чтобы найти максимальную скорость математического маятника в процессе его подъема, мы можем использовать закон сохранения механической энергии между начальной точкой (нижняя точка) и точкой наибольшей высоты:

$$E_{\text{мех нач}}=E_{\text{мех кон}}$$
$$E_{\text{к нач}}+E_{\text{п нач}}=E_{\text{к кон}}+E_{\text{п кон}}$$

Так как максимальная высота достигается в точке, где скорость маятника равна нулю, то кинетическая энергия в конечной точке также равна нулю ($E_{\text{к кон}}=0$).

$$E_{\text{к нач}}+E_{\text{п нач}}=0+m\cdot g\cdot h_{\text{кон}}$$
$$E_{\text{к нач}}=-m\cdot g\cdot h_{\text{кон}}$$

Теперь вспомним, что кинетическая энергия $E_{\text{к}}$ связана со скоростью $v$ и массой $m$ следующим образом:

$$E_{\text{к}}=\frac{1}{2}m\cdot v^2$$

Теперь мы можем найти максимальную скорость:

$$\frac{1}{2}m\cdot v^2=-m\cdot g\cdot h_{\text{кон}}$$
$$v^2=-2\cdot g\cdot h_{\text{кон}}$$
$$v=\sqrt{-2\cdot g\cdot h_{\text{кон}}}$$

Теперь мы можем подставить известные значения и решить задачу:

$$v=\sqrt{-2\cdot 9,8\cdot h_{\text{кон}}}$$
$$v=\sqrt{-19,6\cdot h_{\text{кон}}}$$

Но у нас есть масса маятника $m$ в граммах, а не в килограммах. Чтобы использовать данное значение массы в формуле, нужно привести массу килограммов:

$$m=112\text{г}=0,112\text{кг}$$

Теперь мы можем вычислить максимальную скорость математического маятника:

$$v=\sqrt{-19,6\cdot h_{\text{кон}}}$$
$$v=\sqrt{-19,6\cdot \frac{E_{\text{мех нач}}}{m\cdot g}}$$
$$v=\sqrt{-19,6\cdot \frac{m\cdot g\cdot h_{\text{кон}}}{m\cdot g}}$$
$$v=\sqrt{-19,6\cdot h_{\text{кон}}}$$