Какова максимальная скорость вагонетки, если время ее движения минимально? Вагонетка движется с постоянным ускорением

Morskoy_Kapitan

3

Чтобы решить эту задачу, мы будем использовать уравнения движения. Для начала, нам нужно найти время, которое вагонетка будет двигаться.
Общий путь, который проходит вагонетка, равен сумме пути ускорения и пути торможения:

\[S_{\text{общий}} = S_{\text{ускорения}} + S_{\text{торможения}}\]

Скорость на участке ускорения равна:

\[v = u + at\]

где \(v\) - скорость, \(u\) - начальная скорость, \(a\) - ускорение, \(t\) - время.

На участке ускорения у нас нет начальной скорости, поэтому \(u = 0\). Зная начальную скорость и ускорение, мы можем записать это уравнение следующим образом:

\[v_{\text{ускорения}} = 0 + 0.480t\]

Так как ускорение и торможение происходят с одинаковым ускорением и занимают одинаковое время, мы можем записать:

\[v_{\text{ускорения}} = -v_{\text{торможения}}\]

Теперь мы можем перейти к нахождению времени. Расстояние равно произведению скорости и времени:

\[S = vt\]

На участке ускорения:

\[S_{\text{ускорения}} = v_{\text{ускорения}}t\]

На участке торможения:

\[S_{\text{торможения}} = v_{\text{торможения}}t\]

Заметим, что общий путь (\(S_{\text{общий}}\)) равен \(186\) метрам. Подставляя эти значения в уравнение для общего пути, мы получаем:

\[186 = v_{\text{ускорения}}t + v_{\text{торможения}}t\]

Используя вышеупомянутые равенства между скоростями ускорения и торможения, можно записать:

\[186 = (0.480 + v_{\text{ускорения}})t\]

Теперь у нас есть уравнение, связывающее общий путь, скорость ускорения и время.

Теперь мы можем использовать это уравнение для нахождения времени:

\[t = \frac{186}{0.480 + v_{\text{ускорения}}}\]

Наконец, чтобы найти максимальную скорость вагонетки, мы должны найти максимальное значение \(v_{\text{ускорения}}\).

Мы можем заметить, что время, затраченное на ускорение и торможение, зависит от \(v_{\text{ускорения}}\). При увеличении \(v_{\text{ускорения}}\), время ускорения уменьшается, а время торможения увеличивается. Мы предполагаем, что вагонетка достигнет максимальной скорости, когда время будет минимальным.

Таким образом, чтобы найти максимальную скорость, мы берем предельное значение времени, когда \(t\) стремится к минимальному значению.

\[t_{\text{минимальное}} = \lim_{v_{\text{ускорения}} \to \infty} \frac{186}{0.480 + v_{\text{ускорения}}}\]

Для нахождения этого предельного значения мы можем использовать правило Лопиталя. Проделав соответствующие вычисления, можно получить:

\[t_{\text{минимальное}} = \frac{186}{0.480}\]

Нам осталось найти скорость, используя уравнение скорости на участке ускорения. Подставляя значения, мы получим:

\(v_{\text{ускорения}} = 0.480 \cdot \frac{186}{0.480} = 186\)

Таким образом, максимальная скорость вагонетки составляет \(186\) м/с.