Какова масса двойной звезды в массах Солнца, если период обращения компонентов равен 56 годам, а большая полуось

Marusya

5

Для решения этой задачи, нам понадобятся законы Кеплера и закон Гравитации Ньютона.

Закон Кеплера гласит, что квадрат периода обращения двух тел, находящихся вокруг общего центра масс, пропорционален кубу большой полуоси их орбиты:

\[T^2 = k \cdot a^3\]

Здесь \(T\) - период обращения, \(a\) - большая полуось орбиты, \(k\) - постоянная, зависящая от масс тел.

Также, по закону Гравитации Ньютона, модуль гравитационной силы между двумя телами пропорционален произведению их масс и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними:

\[F = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}\]

Здесь \(F\) - гравитационная сила, \(G\) - гравитационная постоянная (\(6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}\)), \(m_1\) и \(m_2\) - массы тел, \(r\) - расстояние между ними.

В нашем случае, две компоненты двойной звезды обращаются вокруг общего центра масс друг друга. Поэтому можно утверждать, что гравитационная сила притяжения равна центробежной силе:

\[G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} = \frac{m_2 \cdot v^2}{r}\]

Здесь \(v\) - скорость движения одной компоненты вокруг другой.

Так как известно, что период обращения равен 56 годам, можно выразить скорость \(v\) через период и расстояние, используя формулу:

\[v = \frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}\]

Подставляя это значение скорости в равенство, получаем:

\[G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} = \frac{m_2 \cdot \left(\frac{2 \cdot \pi \cdot r}{T}\right)^2}{r}\]

Упрощая уравнение, получаем:

\[m_1 \cdot G = 4 \cdot \pi^2 \cdot r^3 \cdot \frac{m_2}{T^2}\]

Теперь осталось выразить массу двойной звезды \(m_2\) через массу Солнца \(M_\odot\). Массу Солнца будем обозначать \(m_\odot\). Согласно задаче, ответ нужно округлить до десятых, поэтому давайте определим массу двойной звезды в массах Солнца:

\[\frac{m_2}{m_\odot} = \frac{m_2}{M_\odot}\]

Теперь можем выполнять замену:

\[m_2 = M_\odot \cdot \left(\frac{m_2}{M_\odot}\right)\]

Подставляя это выражение в наше уравнение, получаем:

\[m_1 \cdot G = 4 \cdot \pi^2 \cdot r^3 \cdot \frac{M_\odot \cdot \left(\frac{m_2}{M_\odot}\right)}{T^2}\]

Теперь у нас есть выражение для массы двойной звезды \(m_2\):

\[m_2 = \frac{m_1 \cdot G \cdot T^2}{4 \cdot \pi^2 \cdot r^3 \cdot M_\odot}\]

Теперь, чтобы вычислить значение массы двойной звезды в массах Солнца, нужно подставить значения всех известных величин: \(m_1\) в массах Солнца (\(m_\odot\)), \(G\) (гравитационная постоянная), \(T\) (период обращения) и \(r\) (большая полуось орбиты) и провести необходимые вычисления.

Пожалуйста, предоставьте значения всех этих величин, чтобы я мог точно решить задачу.