Какова масса гири, при условии, что после установки гири на поршень в цилиндрическом сосуде с идеальным газом, система

Звезда

43

Для решения данной задачи воспользуемся законом Гей-Люссака, который гласит, что при постоянном объеме идеальный газ пропорционально изменяет свою температуру при изменении давления.

Пусть \(T_1\) - начальная температура газа, \(V_1\) - начальный объем газа, \(P_1\) - начальное давление газа, \(m\) - масса гири, \(T_2\) - конечная температура газа, \(V_2\) - конечный объем газа, \(P_2\) - конечное давление газа, \(P_{атм}\) - атмосферное давление.

Из условия задачи получаем следующие соотношения:

\[T_2 = 4T_1 \quad (1)\]
\[V_2 = \frac{V_1}{1.25} \quad (2)\]
\[P_1 = P_2 + P_{атм} \quad (3)\]

Также, для гири действует условие равновесия:

\[P_2 \cdot S = m \cdot g \quad (4)\]

где \(S\) - площадь поршня, \(g\) - ускорение свободного падения.

Исходя из формулы идеального газа:

\[P \cdot V = n \cdot R \cdot T\]

где \(n\) - количество вещества газа, \(R\) - универсальная газовая постоянная, которая равна приблизительно \(8.31 \, \text{Дж/(моль} \cdot \text{К)}\).

Из формулы идеального газа можно выразить количество вещества:

\[n = \frac{P \cdot V}{R \cdot T}\]

Применим это к начальному состоянию и конечному состоянию газа:

\[\frac{P_1 \cdot V_1}{R \cdot T_1} = \frac{P_2 \cdot V_2}{R \cdot T_2} \quad (5)\]

Теперь объединим все наши полученные уравнения (1)-(5) и найдем массу гири:

\[\frac{P_1 \cdot V_1}{R \cdot T_1} = \frac{P_2 \cdot V_2}{R \cdot T_2}\]
\[P_2 = P_1 - P_{атм} \quad \text{(из (3))}\]
\[V_2 = \frac{V_1}{1.25} \quad \text{(из (2))}\]
\[T_2 = 4T_1 \quad \text{(из (1))}\]
\[P_2 \cdot S = m \cdot g \quad \text{(из (4))}\]
\[\frac{P_1 \cdot V_1}{R \cdot T_1} = \frac{(P_1 - P_{атм}) \cdot \frac{V_1}{1.25}}{R \cdot (4T_1)}\]

Теперь решим это уравнение и найдем значение массы гири \(m\).