Какова масса груза m, подвешенного на растянутой на х = 0,5 см пружине? Когда система выводится из положения равновесия
Какова масса груза m, подвешенного на растянутой на х = 0,5 см пружине? Когда система выводится из положения равновесия и отпускается, она совершает затухающие колебания с коэффициентом затухания β = 0,3 с^-1, где β << – это частота собственных колебаний системы. Когда на эту систему действует периодическая вынуждающая сила с амплитудным значением 1,2 Н и частотой резонанса ≈, амплитуда колебаний возрастает до резонансного значения Aрез= 22,6 см. Что нужно найти - массу груза m.
Оксана 68
Коэффициент затухания \(\beta\) в данной задаче равен 0,3 с^-1. Нам необходимо найти массу груза \(m\), подвешенного на растянутой пружине, при условии, что пружина растянута на \(x = 0,5\) см.Для решения этой задачи мы можем использовать закон Гука для пружин, а также уравнение колебаний с затуханием.
Первым шагом найдем жесткость пружины \(k\). В качестве известных данных воспользуемся тем, что пружина растянута на \(x = 0,5\) см. Линейный закон упругости выражается следующей формулой:
\[F = -kx\]
Где \(F\) - сила, действующая на пружину, \(k\) - коэффициент жесткости пружины, а \(x\) - величина ее деформации.
Определим \(F\) в нашем случае. Заменим известные значения и решим уравнение:
\[F = -k \cdot 0,5\]
Так как при равновесии сумма всех сил равна нулю, то сила \(F\) должна быть равна и противоположна силе тяжести \(mg\). То есть:
\[mg = k \cdot 0,5\]
Теперь, зная это, мы можем перейти к второму этапу решения задачи.
Для случая затухающих колебаний существует следующее уравнение колебаний:
\[mx""(t) + \beta x"(t) + kx(t) = 0\]
Где \(m\) - масса груза, \(x(t)\) - смещение груза от положения равновесия в момент времени \(t\), \(x""(t)\) - производная второго порядка от \(x(t)\), а \(x"(t)\) - первая производная \(x(t)\) по времени.
Так как система вводится из положения равновесия и отпускается, то в начальный момент времени \(t = 0\) существуют следующие начальные условия:
\[x(0) = 0, \quad x"(0) = 0\]
Для нахождения решения уравнения колебаний с затуханием, можно использовать характеристическое уравнение:
\[ms^2 + \beta s + k = 0\]
Где \(s\) - неизвестная переменная. Решение этого уравнения дает два корня \(s_1\) и \(s_2\), которые зависят от значения коэффициента затухания \(β\) и массы груза \(m\).
Теперь, имея корни уравнения \(s_1\) и \(s_2\), мы можем записать общее решение уравнения колебаний с затуханием:
\[x(t) = C_1e^{s_1t} + C_2e^{s_2t}\]
Где \(C_1\) и \(C_2\) - константы, которые можно найти, используя начальные условия.
Возможные значения корней уравнения \(s_1\) и \(s_2\) зависят от трех случаев:
1. Если \(\beta^2 - 4mk > 0\), то два корня являются вещественными и различными.
2. Если \(\beta^2 - 4mk = 0\), то два корня являются вещественными и одинаковыми.
3. Если \(\beta^2 - 4mk < 0\), то два корня являются комплексными.
Учитывая случай 1, мы можем найти константы \(C_1\) и \(C_2\) с использованием начальных условий. Зная значение \(x(0)\) и \(x"(0)\), мы можем составить следующую систему уравнений:
\[x(0) = C_1 + C_2 = 0\]
\[x"(0) = C_1s_1 + C_2s_2 = 0\]
Решая эту систему уравнений, мы найдем значения \(C_1\) и \(C_2\). Затем мы можем записать окончательное решение задачи в виде:
\[x(t) = C_1e^{s_1t} + C_2e^{s_2t}\]
Обратите внимание, что в данной задаче мы далее не используем данные для определения массы груза \(m\). Таким образом, определить массу груза по заданным условиям задачи не представляется возможным. Необходимо дополнительное условие для решения этой задачи или уточняющие данные.