Какова масса груза M, при которой система, состоящая из однородного рычага массой m, подвешенного на нити, подвижного

Yachmenka

18

Для решения этой задачи мы можем использовать условие равновесия моментов сил.
Для начала, давайте разберемся с системой и определим силы, действующие на каждый элемент.

У нас есть:
1. Рычаг массой \(m\) и длиной \(L\), подвесленный на нити.
2. Подвижный блок, который соединен одной нитью с рычагом.
3. Грузы, привязанные к рычагу нитями.

Приравняв сумму моментов сил к нулю, мы получим условие равновесия системы:

\(\sum \tau_{\text{сил}} = 0\)

Для начала рассмотрим рычаг. Масса рычага создает силу тяжести \(F_1 = m \cdot g\), действующую в его центре. Эта сила создает момент силы относительно точки вращения (точки подвеса рычага). Пусть \(d\) - расстояние от центра масс рычага до точки подвеса. Тогда момент силы, создаваемой массой рычага, равен \(M_1 = F_1 \cdot d = m \cdot g \cdot d\).

Также на рычаг действует момент силы, создаваемый грузами. Пометим массы грузов \(M_i\) и их расстояния до точки подвеса рычага \(d_i\). Тогда момент силы, создаваемый каждым грузом, равен \(M_i = M_i \cdot g \cdot d_i\). Здесь \(i\) - индекс, обозначающий номер груза.

Рассмотрим теперь подвижный блок. Подвижный блок также создает момент силы относительно точки подвеса рычага. Пусть \(D\) - расстояние от центра масс подвижного блока до точки подвеса рычага. Тогда момент силы, создаваемой подвижным блоком, равен \(M_2 = F_2 \cdot D\).

Итак, суммируя все моменты сил, получаем:

\(\sum M_{\text{силы}} = M_1 + \sum M_i + M_2 = 0\)

\(m \cdot g \cdot d + \sum M_i + F_2 \cdot D = 0\)

Теперь давайте рассмотрим силы, действующие на подвижный блок. На блок действует сила натяжения \(T\), а также сила тяжести грузов, связанных с блоком нитью. Обозначим массу каждого груза \(m_i\). Тогда сумма всех сил, действующих на блок в вертикальном направлении, равна:

\(\sum F_{\text{вертик}} = T - \sum m_i \cdot g = 0\)

Отсюда мы можем выразить силу натяжения \(T\):

\(T = \sum m_i \cdot g\)

Снова вернемся к условию равновесия моментов сил и подставим выражение для силы натяжения:

\(m \cdot g \cdot d + \sum M_i + F_2 \cdot D = 0\)

\(m \cdot g \cdot d + \sum M_i + F_2 \cdot D = 0\)

\(m \cdot g \cdot d + \sum M_i + m \cdot g \cdot D = 0\)

Теперь суммируем моменты сил, создаваемых грузами, с учетом их масс и расстояний до точки подвеса рычага:

\(m \cdot g \cdot d + \sum (M_i + m_i \cdot g \cdot d_i) + m \cdot g \cdot D = 0\)

\(m \cdot g \cdot d + \sum M_i + \sum (m_i \cdot g \cdot d_i) + m \cdot g \cdot D = 0\)

Теперь запишем выражение для момента силы, создаваемой грузами, с учетом их масс и расстояний до точки подвеса рычага:

\(m \cdot g \cdot d + \sum M_i + \sum (m_i \cdot g \cdot d_i) + m \cdot g \cdot D = 0\)

\(m \cdot g \cdot d + \sum M_i + m_1 \cdot g \cdot d_1 + m_2 \cdot g \cdot d_2 + \ldots + m_n \cdot g \cdot d_n + m \cdot g \cdot D = 0\)

\(m \cdot g \cdot d + \sum (M_i + m_i \cdot g \cdot d_i) + m \cdot g \cdot D = 0\)

\(\sum M_i + m \cdot g \cdot d + m \cdot g \cdot D + \sum (m_i \cdot g \cdot d_i) = 0\)

Теперь заключительный шаг. Определим массу груза \(M\) и его расстояние от точки подвеса рычага \(d\). Подставим значения в уравнение:

\(\sum M_i + m \cdot g \cdot d + m \cdot g \cdot D + \sum (m_i \cdot g \cdot d_i) = 0\)

\(\sum M_i + m \cdot g \cdot d + M \cdot g \cdot d + \sum (m_i \cdot g \cdot d_i) = 0\)

\(M \cdot g \cdot d + \sum M_i + m \cdot g \cdot d + \sum (m_i \cdot g \cdot d_i) = 0\)

\(M \cdot g \cdot d + m \cdot g \cdot d + \sum M_i + \sum (m_i \cdot g \cdot d_i) = 0\)

\(M \cdot g \cdot d + m \cdot g \cdot d + \sum (m_i \cdot g \cdot d_i) + \sum M_i = 0\)

Отсюда мы можем выразить массу груза \(M\):

\(M \cdot g \cdot d + m \cdot g \cdot d + \sum (m_i \cdot g \cdot d_i) + \sum M_i = 0\)

\[M \cdot g \cdot d = -m \cdot g \cdot d - \sum (m_i \cdot g \cdot d_i) - \sum M_i\]

\[M = \frac{-m \cdot g \cdot d - \sum (m_i \cdot g \cdot d_i) - \sum M_i}{g \cdot d}\]

Таким образом, масса груза \(M\), при которой система находится в равновесии, равна \(\frac{-m \cdot g \cdot d - \sum (m_i \cdot g \cdot d_i) - \sum M_i}{g \cdot d}\)