Какова масса планеты, если ее радиус в два раза превышает радиус Земли, а сила тяжести соответствует земной (выразите

Sokol_615

68

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые сведения об ускорении свободного падения на Земле и о формуле, связывающей силу тяжести с массой и расстоянием от центра планеты.

Известно, что ускорение свободного падения на поверхности Земли составляет примерно \(9,8 \, \text{м/с}^2\), что можно обозначить как \(g\).

Формула, связывающая силу тяжести \(F\) с массой \(m\) и расстоянием \(r\) от центра планеты, имеет вид:

\[F = \frac{{G \cdot m \cdot M}}{{r^2}}\]

где \(G\) - гравитационная постоянная, а \(M\) - масса планеты.

Поскольку нам дано, что сила тяжести соответствует земной, а радиус планеты в два раза превышает радиус Земли, то можно записать:

\[F_{\text{з}} = \frac{{G \cdot m_{\text{з}} \cdot M_{\text{з}}}}{{r_{\text{з}}^2}}\]

\[F_{\text{п}} = \frac{{G \cdot m_{\text{п}} \cdot M_{\text{п}}}}{{(2r_{\text{з}})^2}}\]

где индекс \(з\) обозначает параметры Земли, а индекс \(п\) - параметры планеты.

Так как из условия задачи известно, что сила тяжести планеты соответствует силе тяжести Земли, то можно записать:

\[F_{\text{з}} = F_{\text{п}}\]

\[\frac{{G \cdot m_{\text{з}} \cdot M_{\text{з}}}}{{r_{\text{з}}^2}} = \frac{{G \cdot m_{\text{п}} \cdot M_{\text{п}}}}{{(2r_{\text{з}})^2}}\]

Упростим это уравнение:

\[\frac{{m_{\text{з}}}}{{r_{\text{з}}^2}} \cdot M_{\text{з}} = \frac{{m_{\text{п}}}}{{4r_{\text{з}}^2}} \cdot M_{\text{п}}\]

Так как нам нужно выразить массу планеты через массу Земли, то можно разделить обе части уравнения на \(m_{\text{з}}\):

\[\frac{{M_{\text{з}}}}{{r_{\text{з}}^2}} = \frac{{M_{\text{п}}}}{{4r_{\text{з}}^2}}\]

Далее умножим обе части уравнения на \(4r_{\text{з}}^2\):

\[4r_{\text{з}}^2 \cdot \frac{{M_{\text{з}}}}{{r_{\text{з}}^2}} = M_{\text{п}}\]

\[\frac{{4 \cdot M_{\text{з}} \cdot r_{\text{з}}^2}}{{r_{\text{з}}^2}} = M_{\text{п}}\]

\[4 \cdot M_{\text{з}} = M_{\text{п}}\]

Получается, что масса планеты в \(4\) раза превышает массу Земли.

Исходя из этого, если масса Земли составляет \(M_{\text{з}}\), то масса планеты составит \(4 \cdot M_{\text{з}}\).

Таким образом, масса планеты равна 4 массам Земли.