Какова масса планеты, если спутник движется на расстоянии 200 км от ее поверхности с постоянной скоростью 4 км/с

Печка

52

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон всемирного тяготения, который гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя телами пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Нам дано, что спутник движется на расстоянии 200 км от поверхности планеты.

Шаг 1: Определим формулу для силы тяготения F, действующей на спутник:
\[F = \frac{{G \cdot M \cdot m}}{{r^2}}\]

Где:
- F - сила тяготения
- G - гравитационная постоянная (\(6.67430 \times 10^{-11}\) Н * \(м^2 / кг^2\))
- M - масса планеты
- m - масса спутника
- r - расстояние от центра планеты до спутника

Шаг 2: Найдем скорость спутника в метрах в секунду:
\[v = 4 км/с \cdot 1000 = 4000 м/с\]

Шаг 3: Найдем период обращения спутника вокруг планеты. Период обращения спутника связан со скоростью и радиусом орбиты следующим образом:
\[T = \frac{{2\pi r}}{{v}}\]

Где:
- T - период обращения спутника
- \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3,1416

Из условия задачи нам дано, что на расстоянии 200 км от поверхности планеты находится спутник, значит радиус орбиты (r) будет равен сумме радиуса планеты и 200 км.

Шаг 4: Найдем массу планеты M, используя полученные значения:
Мы можем использовать закон Кеплера о периоде обращения спутника:
\[T^2 = \frac{{4\pi^2 \cdot r^3}}{{GM}}\]

Обратим формулу и решим ее относительно M:
\[M = \frac{{4\pi^2 \cdot r^3}}{{GT^2}}\]

Подставим значения r и T и решим задачу:

\[r = 2 \cdot 6370 + 200 = 13140 км = 13140000 м\]

\[T = \frac{{2\pi \cdot 13140000}}{{4000}} = 20,8 \ сек\]

\[M = \frac{{4\pi^2 \cdot (13140000)^3}}{{(6,67430 \times 10^{-11}) \cdot (20,8)^2}}\]

Подставив значения и рассчитав, мы получим массу планеты:

\[M \approx 1.411 \times 10^{27} кг\]

Таким образом, масса планеты составляет примерно \(1.411 \times 10^{27}\) килограмм.