Какова масса планеты, если спутник движется на расстоянии 200 км от ее поверхности с постоянной скоростью 4 км/с

Печка

52

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать закон всемирного тяготения, который гласит, что сила гравитационного притяжения между двумя телами пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Нам дано, что спутник движется на расстоянии 200 км от поверхности планеты.

Шаг 1: Определим формулу для силы тяготения F, действующей на спутник:
$$F=\frac{G\cdot M\cdot m}{r^2}$$

Где:
- F - сила тяготения
- G - гравитационная постоянная ($6.67430\times {10}^{-11}$ Н * ${м}^2/к{г}^2$)
- M - масса планеты
- m - масса спутника
- r - расстояние от центра планеты до спутника

Шаг 2: Найдем скорость спутника в метрах в секунду:
$$v=4км/с\cdot 1000=4000м/с$$

Шаг 3: Найдем период обращения спутника вокруг планеты. Период обращения спутника связан со скоростью и радиусом орбиты следующим образом:
$$T=\frac{2\pi r}{v}$$

Где:
- T - период обращения спутника
- $\pi$ - математическая константа, примерно равная 3,1416

Из условия задачи нам дано, что на расстоянии 200 км от поверхности планеты находится спутник, значит радиус орбиты (r) будет равен сумме радиуса планеты и 200 км.

Шаг 4: Найдем массу планеты M, используя полученные значения:
Мы можем использовать закон Кеплера о периоде обращения спутника:
$$T^2=\frac{4{\pi }^2\cdot r^3}{GM}$$

Обратим формулу и решим ее относительно M:
$$M=\frac{4{\pi }^2\cdot r^3}{G{T}^2}$$

Подставим значения r и T и решим задачу:

$$r=2\cdot 6370+200=13140км=13140000м$$

$$T=\frac{2\pi \cdot 13140000}{4000}=20,8сек$$

$$M=\frac{4{\pi }^2\cdot (13140000{)}^3}{(6,67430\times {10}^{-11})\cdot (20,8{)}^2}$$

Подставив значения и рассчитав, мы получим массу планеты:

$$M\approx 1.411\times {10}^{27}кг$$

Таким образом, масса планеты составляет примерно $1.411\times {10}^{27}$ килограмм.