Какова масса плутона на основе данных, что его спутник Харон имеет период обращения вокруг плутона в 6,4 суток

Solnechnyy_Den

28

Для решения данной задачи необходимо использовать закон всемирного тяготения. Закон гласит, что сила притяжения между двумя телами прямо пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Известно, что период обращения спутника Харона вокруг Плутона составляет 6,4 суток на среднем расстоянии 19 600 км, а аналогичные параметры для Луны составляют 27,3 суток и 384 400 км.

Для начала, воспользуемся формулой для периода обращения спутника вокруг планеты, которая выглядит следующим образом:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}\]

Где:
T - период обращения спутника
r - среднее расстояние между планетой и спутником
G - гравитационная постоянная
M - масса планеты

Подставим известные значения для Луны:

27,3 суток = 2\pi \sqrt{\frac{(384,400 \ km)^3}{GM_{\text{Луна}}}}

Теперь воспользуемся тем же уравнением для Харона:

6,4 суток = 2\pi \sqrt{\frac{(19,600 \ km)^3}{GM_{\text{Плутон}}}}

Для удобства решения задачи, разделим уравнение Луны на уравнение Харона:

\frac{27,3}{6,4} = \sqrt{\frac{(384,400 \ km)^3}{GM_{\text{Луна}}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{(19,600 \ km)^3}{GM_{\text{Плутон}}}}}

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат:

\left(\frac{27,3}{6,4}\right)^2 = \frac{(384,400 \ km)^3}{GM_{\text{Луна}}} \cdot \frac{GM_{\text{Плутон}}}{(19,600 \ km)^3}

Упрощаем и выражаем массу плутона:

\left(\frac{27,3}{6,4}\right)^2 \cdot \frac{(19,600 \ km)^3}{(384,400 \ km)^3} \cdot GM_{\text{Луна}} = GM_{\text{Плутон}}

Теперь нужно использовать экспериментальные данные, чтобы найти гравитационную постоянную, обозначенную как G.

G = 6,67430 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2

Подставим это значение в выражение и решим его для массы плутона:

\left(\frac{27,3}{6,4}\right)^2 \cdot \frac{(19,600 \ km)^3}{(384,400 \ km)^3} \cdot 6,67430 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2 \cdot M_{\text{Луна}} = 6,67430 \times 10^{-11} \ N \cdot m^2/kg^2 \cdot M_{\text{Плутон}}

Таким образом, чтобы найти массу Плутона, мы должны решить данное уравнение относительно M_{\text{Плутон}}.