Какова начальная скорость тела, если второй путь, который оно преодолевает в течение второй секунды, в два раза больше

Николаевич_2145

13

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы равноускоренного движения. Начальная скорость \(v_0\), второй путь \(S_2\) и первый путь \(S_1\) связаны следующим образом:

\[S_2 = v_0 \cdot t + \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\]
\[S_1 = v_0 \cdot (t-1) + \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot (t-1)^2\]

где \(t\) - время движения тела, \(a\) - ускорение.

В условии задачи сказано, что второй путь, пройденный телом за вторую секунду (\(S_2\)), в два раза больше первого пути, пройденного за первую секунду (\(S_1\)). То есть, у нас есть следующее соотношение:

\[S_2 = 2 \cdot S_1\]

Подставим значения \(S_1\) и \(S_2\) в уравнения равноускоренного движения:

\[2 \cdot S_1 = v_0 \cdot t + \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\]
\[S_1 = v_0 \cdot (t-1) + \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot (t-1)^2\]

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными \(v_0\) и \(a\). Чтобы найти их значения, можно применить метод решения системы уравнений, например, метод подстановки или метод сложения/вычитания. Но в данном случае, мы можем воспользоваться следующим приемом:

Обратите внимание, что первый путь, который тело преодолевает в первую секунду (\(S_1\)), равен начальной скорости без учета ускорения (\(v_0\)). Поэтому мы можем записать:

\[S_1 = v_0 \cdot 1 = v_0\]

Теперь подставим это значение в систему уравнений:

\[2 \cdot v_0 = v_0 \cdot t + \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\]
\[v_0 = v_0 \cdot (t-1) + \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot (t-1)^2\]

Перейдем к решению этой системы уравнений:

Первое уравнение:

\[2 \cdot v_0 = v_0 \cdot t + \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\]

Раскроем скобки во втором уравнении:

\[v_0 = v_0 \cdot t - v_0 + \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 - a \cdot t + \dfrac{1}{2} \cdot a\]

Подставим значение \(v_0\) из первого уравнения во второе уравнение:

\[2 \cdot v_0 = (v_0 \cdot t - v_0) + \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 - a \cdot t + \dfrac{1}{2} \cdot a\]

Упростим выражение:

\[2 \cdot v_0 = v_0 \cdot t - v_0 + \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 - a \cdot t + \dfrac{1}{2} \cdot a\]
\[v_0 = v_0 \cdot t - v_0 + \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 - a \cdot t + \dfrac{1}{2} \cdot a\]

Теперь сгруппируем по \(v_0\) и по \(a\):

\[v_0 - v_0 \cdot t + v_0 = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 - a \cdot t + \dfrac{1}{2} \cdot a\]
\[0 = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2 - a \cdot t + \dfrac{1}{2} \cdot a\]

Делим обе части уравнения на \(a\):

\[0 = \dfrac{1}{2} \cdot t^2 - t + \dfrac{1}{2}\]

Умножаем обе части уравнения на 2:

\[0 = t^2 - 2t + 1\]

Решим полученное квадратное уравнение:

\[t^2 - 2t + 1 = 0\]

Это квадратное уравнение имеет единственный корень \(t = 1\).

Теперь, когда мы знаем значение \(t\), подставляем его обратно в первое уравнение для нахождения \(v_0\):

\[2 \cdot v_0 = v_0 \cdot t + \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\]
\[2 \cdot v_0 = v_0 \cdot 1 + \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot 1^2\]
\[2 \cdot v_0 = v_0 + \dfrac{1}{2} \cdot a\]
\[v_0 = \dfrac{1}{2} \cdot a\]

Таким образом, мы получили, что начальная скорость \(v_0\) равна половине ускорения \(a\).

Ответ: Начальная скорость тела равна половине ускорения.