Какова наибольшая высота треугольника с сторонами 10 см, 17 см и 21 см, если известны радиусы вписанной и описанной

Сергей

12

Для нахождения наибольшей высоты треугольника, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника. Зная стороны треугольника и радиусы вписанной и описанной окружностей, мы можем выразить площадь треугольника через эти данные.

Площадь треугольника можно вычислить, используя формулу Герона (формула площади, основанная на полупериметре треугольника):

\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)},\]

где \(p\) - полупериметр треугольника, а \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника.

Мы знаем, что вписанная окружность треугольника касается всех трех сторон треугольника. Радиус вписанной окружности может быть выражен через площадь \(S\) и полупериметр \(p\) формулой:

\[r_{\text{вп}} = \frac{S}{p}.\]

Аналогично, описанная окружность треугольника касается вершин треугольника. Радиус описанной окружности можно выразить через стороны треугольника и площадь через формулу:

\[r_{\text{оп}} = \frac{abc}{4S}.\]

Теперь мы можем использовать эти формулы, чтобы найти площадь треугольника и радиусы вписанной и описанной окружностей.

Длины сторон треугольника даны: \(a = 10\) см, \(b = 17\) см, \(c = 21\) см.

Сначала найдем полупериметр \(p\):

\[p = \frac{a + b + c}{2}.\]

Подставив значения сторон треугольника, мы получим:

\[p = \frac{10 + 17 + 21}{2} = 24.\]

Теперь можем вычислить площадь треугольника \(S\):

\[S = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p - b) \cdot (p - c)} = \sqrt{24 \cdot (24 - 10) \cdot (24 - 17) \cdot (24 - 21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = 12\sqrt{98} \approx 33.94.\]

Далее, найдем радиус вписанной окружности \(r_{\text{вп}}\):

\[r_{\text{вп}} = \frac{S}{p} = \frac{12\sqrt{98}}{24} = \frac{\sqrt{98}}{2} \approx 3.94.\]

Наконец, можно найти радиус описанной окружности \(r_{\text{оп}}\):

\[r_{\text{оп}} = \frac{abc}{4S} = \frac{10 \cdot 17 \cdot 21}{4 \cdot 12\sqrt{98}} = \frac{3570}{48\sqrt{98}} = \frac{595}{8\sqrt{98}} \approx 3.35.\]

Таким образом, при заданных сторонах треугольника и известных радиусах вписанной и описанной окружностей, наибольшая высота треугольника будет равна \(r_{\text{оп}} - r_{\text{вп}} = 3.35 - 3.94 \approx -0.59\) см. Отрицательный результат говорит о том, что треугольник с такими сторонами не может существовать.