Какова наименьшая возможная длина отрезка A, такого что ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) → (x ∈ A) истинна при любом значении

  • 37
Какова наименьшая возможная длина отрезка A, такого что ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) → (x ∈ A) истинна при любом значении переменной x, где на числовой прямой данные два отрезка: P = [8, 16] и Q = [25, 40]?
Магический_Тролль
69
Для решения данной задачи нам необходимо определить такую длину отрезка A, при которой условие ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) → (x ∈ A) будет выполняться при любом значении переменной x.

Посмотрим на условие ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)). Здесь мы имеем два случая:
1. Если x ∈ P (x принадлежит отрезку P), то условие ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) будет истинно независимо от значения x ∈ Q.
2. Если x ∈ Q (x принадлежит отрезку Q), то условие ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) также будет истинно независимо от значения x ∈ P.

То есть, в любом случае условие ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) будет истинно, если x принадлежит хотя бы одному из отрезков P или Q.

Теперь необходимо определить, какое значение должен иметь x, чтобы условие (x ∈ A) было также истинно независимо от значения отрезков P и Q.

Заметим, что условие (x ∈ A) будет истинно, если x принадлежит хотя бы одному из отрезков P или Q, так как в этом случае ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) будет истинным.

Таким образом, наименьшая возможная длина отрезка A, удовлетворяющая условию ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) → (x ∈ A), равна объединению отрезков P и Q:

A = P ∪ Q = [8, 16] ∪ [25, 40].

Итак, наименьшая возможная длина отрезка A равна [8, 16] ∪ [25, 40].