Какова наименьшая высота треугольника и радиусы его вписанной и описанной окружностей, если длины его сторон равны

Орех

20

15 см?

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, треугольник не является прямоугольным, поэтому мы не можем применить теорему Пифагора напрямую.

Однако, мы можем воспользоваться формулой Герона для вычисления площади треугольника. Площадь \(S\) треугольника можно выразить через полупериметр \(p\) (половину суммы длин всех сторон треугольника) и длины его сторон \(a\), \(b\) и \(c\). Формула Герона выглядит следующим образом:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

Чтобы вычислить полупериметр \(p\), сложим длины всех сторон и разделим на 2:

\[p = \frac{a + b + c}{2}\]

Соответственно, чтобы найти площадь треугольника, мы должны знать длины всех его сторон. В нашем случае, длины сторон равны 11 см, 13 см и 15 см.

\[p = \frac{11 + 13 + 15}{2} = 19.5\]

Теперь, подставив значение полупериметра \(p\) и длины сторон треугольника в формулу Герона, мы можем вычислить его площадь \(S\):

\[S = \sqrt{19.5 \cdot (19.5 - 11) \cdot (19.5 - 13) \cdot (19.5 - 15)} = \sqrt{19.5 \cdot 8.5 \cdot 6.5 \cdot 4.5} \approx 61.88 \, \text{см}^2\]

Теперь, чтобы найти высоту треугольника, мы можем использовать формулу для высоты, связанную с площадью и длиной основания. Высота \(h\) выражается следующим образом:

\[h = \frac{2S}{a}\]

Подставим значение площади \(S\) и длину одной из сторон треугольника \(a\) в эту формулу:

\[h = \frac{2 \cdot 61.88}{11} \approx 11.26 \, \text{см}\]

Таким образом, наименьшая высота треугольника составляет около 11.26 см.

Чтобы найти радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника, мы можем воспользоваться формулами, связанными с площадью и полупериметром треугольника. Радиус \(r\) вписанной окружности выражается следующим образом:

\[r = \frac{S}{p}\]

Подставим значение площади \(S\) и полупериметра \(p\) в эту формулу:

\[r = \frac{61.88}{19.5} \approx 3.17 \, \text{см}\]

Теперь найдем радиус \(R\) описанной окружности с помощью следующей формулы:

\[R = \frac{abc}{4S}\]

Подставим значения сторон треугольника \(a\), \(b\) и \(c\), а также значение площади \(S\) в эту формулу:

\[R = \frac{11 \cdot 13 \cdot 15}{4 \cdot 61.88} \approx 6.34 \, \text{см}\]

Таким образом, радиус вписанной окружности составляет около 3.17 см, а радиус описанной окружности - около 6.34 см. Вот и ответ на задачу!