Какова напряженность электрического поля в области пересечения двух бесконечных параллельных цилиндров радиуса

Druzhok_8064

45

"полумесяце" объемная плотность заряда равна +ρ.

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться принципом суперпозиции электрических полей. Идея заключается в том, что полное электрическое поле в данной области будет равно сумме полей от каждого из заряженных полумесяцев отдельно.

Начнем с рассмотрения электрического поля от одного полумесяца радиусом r.

По определению, напряженность электрического поля равна силе, действующей на единичный положительный заряд. В нашем случае, электрическое поле будет направлено к полумесяцу с отрицательной плотностью заряда и от полумесяца с положительной плотностью заряда.

Чтобы найти напряженность электрического поля в данной области, нам нужно посчитать суммарную силу, с помощью которой полумесяцы притягивают или отталкивают единичный положительный заряд.

Найдем силу \(dF\) между элементом заряда \(dq\) на поверхности полумесяца и единичным положительным зарядом \(dF=\frac{k \cdot |\rho| \cdot dq \cdot dQ}{r^2}\)

Здесь \(k\) - постоянная Кулона, значение которой равно приблизительно \(9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\), \(|\rho|\) - модуль плотности заряда, \(dq\) - элемент заряда на поверхности полумесяца, \(dQ\) - элементарный положительный заряд единичной величины, \(r\) - расстояние от элемента заряда до единичного заряда.

В данной ситуации, элемент заряда \(dq\) на поверхности полумесяца будет равен сумме зарядов на единичной длине полумесяца. Пусть \(dL\) - элементарная длина на плоскости полумесяца радиусом \(r\), где \(0 \leq \phi \leq \pi\), а \(\phi\) - угол.

\(dq = - \rho \cdot dL = -\rho \cdot r \cdot d\phi\)

Теперь мы можем найти поле \(dE\) от элементарного заряда \(dq\) и проинтегрировать результат для нахождения полного поля.

\(dE = \frac{k \cdot |\rho| \cdot dq \cdot dQ}{r^2} = \frac{k \cdot |\rho| \cdot (-\rho \cdot r \cdot d\phi) \cdot dQ}{r^2}\)

В данной задаче, длина \(L\) полумесяца будет \(L=\pi \cdot r\) (полное расстояние вокруг полумесяца).

Интегрируем для нахождения полного электрического поля в данной области:

\(E = \int_{0}^{\pi}{dE} = \int_{0}^{\pi}{\frac{k \cdot |\rho| \cdot (-\rho \cdot r \cdot d\phi) \cdot dQ}{r^2}}\)

\(E = \frac{k \cdot |\rho| \cdot |\rho| \cdot dQ}{r} \int_{0}^{\pi}{-d\phi}\)

Интегрирование по углу \(\phi\) даст нам пределы интегрирования от 0 до \(\pi\) и просто изменит знак:

\(E = \frac{k \cdot |\rho| \cdot |\rho| \cdot dQ}{r} \cdot -\pi\)

Теперь мы можем записать общее поле \(E_{\text{общ}}\), учитывая поле от двух полумесяцев:

\(E_{\text{общ}} = 2 \cdot E = 2 \cdot \frac{k \cdot |\rho| \cdot |\rho| \cdot dQ}{r} \cdot -\pi\)

Учитывая, что \(Q\) - заряд каждого полумесяца, можно записать объемное распределение заряда в каждом полумесяце. Пусть \(V\) - объем каждого полумесяца, тогда:

\(Q = \rho \cdot V = \pi \cdot r^2 \cdot L \cdot \rho = \pi \cdot r^2 \cdot \pi \cdot r \cdot \rho = \pi^2 \cdot r^3 \cdot \rho\)

Теперь мы можем переписать общее поле с использованием выражения для заряда:

\(E_{\text{общ}} = 2 \cdot \frac{k \cdot |\rho| \cdot |\rho| \cdot \pi^2 \cdot r^3 \cdot \rho}{r} \cdot -\pi\)

После упрощения, полное поле можно записать в следующей форме:

\[E_{\text{общ}} = -2 \cdot k \cdot \pi^3 \cdot r^3 \cdot \rho^2\]

Итак, напряженность электрического поля в области пересечения двух бесконечных параллельных цилиндров можно выразить формулой: \[E_{\text{общ}} = -2 \cdot k \cdot \pi^3 \cdot r^3 \cdot \rho^2\]

Где \(E_{\text{общ}}\) - напряженность электрического поля, \(k\) - постоянная Кулона (\(9 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)), \(r\) - радиус цилиндров, \(\rho\) - плотность заряда.