Какова площадь боковой поверхности пирамиды, если стороны основания равны 4, 7 и 9, а высоты боковых граней

Таинственный_Лепрекон

67

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для нахождения площади боковой поверхности пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot g \cdot p, \]

где \(S\) - площадь боковой поверхности пирамиды, \(g\) - длина одной из сторон основания пирамиды, \(p\) - периметр основания пирамиды.

Сначала нам нужно найти периметр основания пирамиды. Периметр основания пирамиды равен сумме длин всех сторон основания. В данной задаче стороны основания равны 4, 7 и 9, поэтому периметр можно найти следующим образом:

\[ p = 4 + 7 + 9 = 20. \]

Подставим значения в формулу площади боковой поверхности пирамиды:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot g. \]

Теперь нам нужно вычислить длину одной из боковых граней пирамиды. В задаче сказано, что высоты боковых граней, проведенные к ребрам основания, равны \(h\). Для этого мы рассмотрим одну из боковых граней пирамиды.

Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному высотой пирамиды, стороной основания пирамиды и одной из боковых граней пирамиды, получим следующее:

\[ h^2 = g^2 - \left( \frac{g}{2} \right)^2. \]

Упростив выражение внутри скобок и произведя необходимые вычисления, получим:

\[ h^2 = g^2 - \frac{g^2}{4} = \frac{3 \cdot g^2}{4}. \]

Теперь мы можем найти длину боковой грани \(g\) выразив ее через высоту \(h\):

\[ g = \sqrt{\frac{4 \cdot h^2}{3}} = \frac{2 \cdot h}{\sqrt{3}}. \]

Подставим это значение в формулу площади боковой поверхности пирамиды:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \frac{2 \cdot h}{\sqrt{3}}. \]

Теперь можем упростить это выражение:

\[ S = \frac{20 \cdot 2 \cdot h}{2\sqrt{3}} = \frac{40h}{\sqrt{3}} = \frac{40h\sqrt{3}}{3}. \]

Итак, площадь боковой поверхности пирамиды равна \(\frac{40h\sqrt{3}}{3}\), где \(h\) - высота боковой грани пирамиды.